探讨求数列通项公式的方法赵明范雪莲（云南大学数学与统计学院云南昆明650091）摘要：数列是高中数学的重点，而求数列通项公式又是数列中的难点。文章归纳了高中数学中求数列通项公式的方法和技巧。关键词：数列通项公式；待定系数法；叠加法数列是高中数学教学的重点，而求数列通项公式又是数学问题中的难点．求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一，由于求数列通项公式时会渗透多种方法和技巧．而且数列问题背景新颖、综合性强、能力要求高及思维方法灵活等，使很多学生难以解答．本文笔者总结了求数列公式的方法，供大家参考．待定系数法．形如设为，展开对比已知递推公式，可求得的值．从而借助数列是等比数列得到通项公式．例1、已知数列中，，，求数列通项公式．解：因为，所以即：，且，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列．所以，即：．备注说明：解答过程中设，由代入得，所以．二、构造新数列对于一些递推关系复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造新的数列转化成上文中的待定系数法．（1）形如（为常数）．两边同除以，得．即转化为上文中的待定系数法，把中的换成即可．例2、设数列中，，，求的通项公式．解：由两边同除，得，由待定系数法得，即，且所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以，即．（2）形如（为常数）．两边取对数得即转化待定系数法．例3、已知数列中，且，求数列的通项公式．解：因为且，得，所以．所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．所以．故（3）形如（为常数）．两边取倒数，得，转化为上文中的待定系数法，把中的换成即可．例4、已知数列中，，，求数列的通项公式．解：将取倒数，得，因为，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，即，所以．（4）形如（为常数）．令，解出此一元二次方程的两根为：．此时①同样地：②由①/②有：，即，此外①或②求倒数之后，即转化为上文的待定系数法．例5、已知数列中，，，求数列的通项公式．解：令得或，于是，求倒数得，令，此时：，又，得，所以．（5）形如（为常数）．令解出该方程的两根为，设，再利用求出的值．例6、已知数列中，且，求数列的通项公式．解：由方程得两根为．由知：①，②由①②得，所以．三、叠加法形如的类型，即有：，…，将这n-1个等式相加，即例7、已知数列中，，求数列的通项公式．解：因为，所以，即有：，将这n-1个等式相加得，由得，即．例8、已知数列中，，求数列通项公式．解：因为，所以，即有：，将这n-1个等式相加得，由得，，所以此外，求数列通项公式的方法还有：数学归纳法等，这里就不再陈述了．总而言之，求数列通项公式问题的关键在于题干所给表达式，根据该表达式的形式特点，灵活选取恰当的方法是解决这类问题诀窍．