核心素养测评四十四空间几何体(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列命题中正确的个数是()①由五个面围成的多面体只能是四棱锥;②用一个平面去截棱锥便可得到棱台;③仅有一组对面平行的五面体是棱台;④棱锥的侧棱长都相等.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.对于①,五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台,故①错;对于②,当平面与棱锥底面不平行时,截得的几何体不是棱台,故②错;对于③,仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱,故③错;对于④,根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱长不一定都相等,故④错.2.(2020·濮阳模拟)如图,O1,O2是棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有主视图中最大面积是()A.a2B.a2C.a2D.2a2【解析】选B.所有主视图中面积最大的是长为a,宽为a的矩形,面积为a2.3.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,C′D′=2cm,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形【解析】选C.如图,在原图形OABC中,应有OD=2O′D′=2×2=4(cm),CD=C′D′=2cm.所以OC===6(cm),所以OA=OC,所以四边形OABC是菱形.4.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为1的正方形,其中主视图、左视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是()A.B.C.D.【解析】选A.由三视图可知:该几何体是一个正方体,挖去一个四棱锥所得的组合体,正方体的体积为1,四棱锥的体积为:×1×1×=,故组合体的体积V=1-=.5.(2020·抚州模拟)某三棱锥的三视图如图所示,主视图与左视图是两个全等的等腰直角三角形,直角边长为1,俯视图是正方形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A.B.C.D.1【解析】选C.该多面体为一个三棱锥D-ABC,是正方体的一部分,如图所示,其中3个面是直角三角形,1个面是等边三角形,S△BCD=×()2=,S△BAD=S△ACD=×1×=,S△BCA=×1×1=,所以,该三棱锥的四个面的面积中最大的是.6.《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取()A.B.C.D.【解析】选C.V=πr2h=π×h=l2h,由≈,得π≈.7.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是________________.【解析】连接A1B,沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内,连接A1C,则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得∠A1C1B=90°,又∠BC1C=45°,所以∠A1C1C=135°,由余弦定理可求得A1C=5.答案:59.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为________________.【解析】设底面圆的半径为r,底面圆心为O,因为SA与圆锥底面所成角为30°,所以SA=,SO=r,又直角△SAB的面积为8,所以=8,解得r=2.所以V=πr2·SO=π(2)2··2=8π.答案:8π10.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________________.【解析】如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.由题意得πr2=×4πR2.所以r2=R2,根据球的截面的性质可知两圆锥的高线必过球心O,过两圆锥的顶点的截面大圆上AB⊥O1C.所以OO1