会计学最优控制的基本概念最优控制问题(wèntí)最优控制的应用(yìngyòng)类型4.1用变分法解最优控制在动态(dòngtài)系统最优控制问题中，性能指标是一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者可对照微分学中的结果来理解。4.1.1泛函与变分满足下面条件的泛函称为线性泛函这里是实数，和是函数空间中的函数。4、自变量函数(hánshù)的变分：图4-1自变量函数(hánshù)的变分这里，是的线性泛函，是关于的高阶无穷小，则称为泛函J[x]的变分。可知泛函变分就是泛函增量的线性主部。当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方法来确定(quèdìng)。定理设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函，若在x=x0处J[x]可微，则J[x]的变分为证明(zhèngmíng):泛函变分的规则(guīzé)举例(jǔlì)：6、泛函的极值(jízhí)：4.1.2欧拉方程(fāngchéng)（2）举例：利用(lìyòng)上面的结论求得其中(qízhōng)，为拉格朗日函数，是待定拉格朗日乘子。4.1.3横截条件(tiáojiàn)(2)末端时刻自由(zìyóu)时的横截条件末端受约束时,存在如下近似关系(guānxì):如果末端自由，则曲线c(t)不存在。设性能指标为容许轨线x(t)与极值曲线x*(t)之间有如下关系(guānxì)当末端(mòduān)由(xf,tf)移动到时，产生如下的泛函增量将(8)右端的(duāndì)第二项在极值曲线泰勒展开将以上结果代入(8)，取增量的线性主部，得泛函的变分令，得欧拉方程(fāngchéng)和横截条件：末端时刻自由、末端状态变动时的横截条件1)末端状态自由时的横截条件当x(tf)自由时，由(7)可知(kězhī)代入(10)可得到因为任意，所以tf自由、x(tf)自由的横截条件和边界条件为：2)末端状态(zhuàngtài)受约束时的横截条件设受约束方程为x(tf)=c(tf),由(7)可知代入(11)，并考虑任意，得到tf自由、x(tf)受约束的横截条件和边界条件为如果t0也自由、x(t0)受约束，即沿着曲线g(t)则应满足以下(yǐxià)横截条件例子:求平面上给定两点A(0,1),B(1,3)间的最短弧长。若B点可沿曲线c(t)=2-t移动，求一连接A、B两点且弧长最短的曲线。对于(duìyú)最短弧长问题，它是泛函在两端固定条件下的变分问题，欧拉方程的解为x=at+b带入边界条件可得解x=2t+1。(2)属于末端受约束的变分问题，其最短弧长满足与(1)相同的欧拉方程，因此x=at+b，因为初始点没有变化，所以由x(0)=1可得b=1.为了(wèile)确定参数a,运用横截条件(11.1)可得解得a=1,因此可知极值曲线为.由末端约束条件，可知tf=0.5，带入弧长公式得到最短弧长不同边界(biānjiè)情况下的横截条件4.1.4变分法解最优控制问题(wèntí)(1)末端时刻固定时的最优解对于(duìyú)如下最优控制问题：无约束且在[t0,tf]上连续，.在[t0,tf]上，f(.),和L(.)连续可微，tf固定。最优解的必要条件为：1)x(t)和满足正则方程2)边界条件和横截条件3)极值(jízhí)条件证明：构造广义泛函分部积分(jīfēn)则对上式取一次变分，考虑到根据泛函极值的必要条件，可得到结论。当末端时间tf固定，末端状态x(tf)自由时，不存在目标集因此，该下的泛函极值只需将上述结论(jiélùn)中的去掉即可。当末端时间tf固定，末端状态x(tf)固定时，正则方程不变，边界条件退化为x(t0)=x0，x(tf)=xf，系统在可控的条件下，极值条件也不变。/本例属于末端(mòduān)时刻固定，末端(mòduān)状态受约束的泛函极值问题。Hamilton函数协态方程极值条件状态方程根据初始条件和目标条件可求出c3=c4=0,4c1-9c2=6再根据横截条件可求出c1=(1/2)c2，可求出c1与c2的值。进而(jìnér)获得最优解(2)末端(mòduān)时刻自由时的最优解2)边界条件和横截条件3)极值(jízhí)条件4)在最优曲线末端的Hamilton函数满足证明：构造广义泛函当末端由(xf,tf)移动到时，产生如下的泛函增量(zēnɡliànɡ)