如果您无法下载资料,请参考说明:
1、部分资料下载需要金币,请确保您的账户上有足够的金币
2、已购买过的文档,再次下载不重复扣费
3、资料包下载后请先用软件解压,在使用对应软件打开
●任何具有质量和弹性的系统都能产生振动,若不外加激励的作用,振动系统对初始激励的响应,通常称为自由振动。最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质量的系统,如图2.1-1所示的弹簧-质量系统。(2.1-1)根据常微分方程理论,式(2.1-3)的解具有下面的一般形式设①在单位秒时间内振动重复的次数。设在初瞬时t=0,物体有初位移与初速度,则代入式(2.1-4)及其一阶导数,振动系统对初始条件的响应为现在来看由弹簧悬挂的物体(图2.1-3)沿铅直方向的振动。从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统的固有频率。例2.1-1均匀悬臂梁长为l,弯曲刚度为EJ,重量不计,自由端附有重为P=mg的物体,如图2.1-4所示。试写出物体的振动微分方程,并求出频率。这里,悬臂梁起着弹簧的作用,自由端产生单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数例2.1-2可绕水平轴转动的细长杆,下端附有重锤(直杆的重量和锤的体积都可以不计),组成单摆,亦称数学摆。杆长为l,锤重为P=mg,试求摆的运动微分方程及周期。故例2.1-3可绕水平轴摆动的物体,称为复摆(亦成为物理摆)。设物体的质量为m,对轴O的转动惯量为I,重心G至轴O的距离为s,如图2.1-6所示,求复摆微幅振动的微分方程及振动周期。故固有频率为解:设为圆盘相对于静平衡位置的角坐标。微分方程为可见扭摆的自由振动也是简谐振动,其周期与频率为对于能量无耗散的振动系统,在自由振动时系统的机械能守恒。例2.2-1有一个重量为W,半径为r的实心圆柱体,在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动,如图2.2-1所示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动,试求它绕平衡位置作微小摆动时的固有频率n。系统的动能T为由式(2.2-2),有故系统固有频率为解:在杆有微小偏角时,弹簧的伸长及锤的位移与速度可以近似的表示为a,l与。故振动系统的动能与势能可以表示为代入方程(2.2-2)有●在前面的讨论中,都忽略了弹簧的质量。这样的简化,已经足够满足许多工程实际问题的需要了。现以图2.3-1所示的弹簧质量系统为例说明瑞利法的应用。整个弹簧的动能为由Tmax=Umax可得例2.3-1设一均质等截面简支梁,如图2.3-2所示,在中间有一集中质量m,如把梁本身质量考虑在内,试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。式中ym为中点挠度。因为是简谐振动,设由Tmax=Umax,得由材料力学知,在梁端静载荷P的作用下,悬臂梁自由端的挠度为,截面x处的挠度为。其中y0为梁自由端的振幅。设质量m的自由振动可表示为;而梁的振动可表示为故整个系统动能的最大值为弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。确定沿x方向的刚度时,在B处沿x方向加一垂直力F。确定沿y方向的刚度时,在B点沿y方向加一横向力P。杆件作转扭,产生扭角,根据材料力学知,B点沿x轴的扭角为对于螺旋弹簧,在承受轴向拉伸或压缩、扭转与弯曲变形时,刚度系数分别为图2.4-2(a)是两个串联弹簧,刚度系数分别为k1和k2。B点的位移及等效刚度系数为图2.4-2(b)是两个并联弹簧,刚度系数分别为k1和k2。两个弹簧所受的力分别为k1xB、k2xB弹簧的并联与串联,不能按表面形式来划分,应从力的分析来判断。因为如果车轮轴有损伤或有小裂纹,用掷头一敲,车轮轴系统将发生自由振动,其振动的频率与轮轴材料的弹性有关,损伤或有裂纹的部位会引起材料的弹性发生改变,这样固有频率也将发生变化,听到的声音频率也就不一样。阻力可能来自多方面。例如,两物体之间在润滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力;物体在磁场或流体中运动所遇到的阻力;以及由于材料的粘弹性产生的内部阻力等等。在振动中,这些阻力称为阻尼。两接触面之间有润滑剂,摩擦力则决定于润滑剂的“粘性”和运动的速度。两个相对滑动面之间有一层连续的油膜存在,阻力与润滑剂的粘性和速度成正比,其速度的方向相反,即