55习题四1.判断下列结论的正误1fx3xx2是复数域上的多项式2fx41??xx3是实数域R上的多项式3fx51x3是有理数域Q上的多项式4fxx3x2x1是复数域C上的多项式.解1错2错3对4对2.求用gx去除fx所得的商和余式.1fxx42x3x1gx3x2x12fxx32x26x7gxx2x23fxx43x3x24x3gx3x310x22x3.解1商为27497312??xx余式为27312744??x2商为1??x余式为93x3商为9131??x余式为31091952xx3.数域F中的数mpq适合什么条件时多项式x2mx1整除x4px2q解以12mxx除qpxx4所得的商式为122mpmxx余式为1222mpqxmpmxr.而多项式12mxx整除qpxx24的充要条件是0xr56即010222mpqmpm且.所以当10qpm或212mpq时qpxxmxx2421整除4.设a∈F.证明对任意的正整数n有xa整除xnan.证明由于123221nnnnnnnaxaxaaxxaxax因此ax??在nnaxF??上整除5.设fx∈Fxk是正整数.证明x整除fkx当且仅当x整除fx.证明充分性当.xfxxfxk整除时显然有整除必要性作带余除法得rxxqxf.Fr∈kikiikiikikikkrxrxxqikrxxqikrxxqxf∑∑110由于xfxk整除因此krx.这说明0r即有xxqxf因此.xfx整除6.设kn是正整数.证明xk1整除xn1当且仅当k整除n.证明充分性若nk令1knnkxy.因为111nyy57所以.11nkxx必要性设rkqn这里.0krlt≤显然有.11111rkqrrrrkqrkqnxxxxxxxxx因为11nkxx且11kqkxx这一点利用了必要性结合上式知.11rkxx这时必然有.0r7.用辗转相除法求fxx43x3??x2??4x??3与gx3x310x22x??3的最大公因式fxgx并求uxvx使得fxgxuxfxvxgx.222115251039993275251099275993525105109279938181fxxgxxxgxxxxxxxxx解由于因此3xxgxf的最大公因式为与.取2595189527xxxvxxu即可符合要求。8.设F和F都是数域且F包含于Ffxgx∈Fx.下列论断哪些是对的哪些是错的是对的给出证明是错的举出反例.在1F上用gx去除fx所得的商和余式分别与在F上用gx去除fx所得的商和余式相同2在F上gx整除fx当且仅当在F上gx整除fx3fx与gx在Fx中的最大公因式和fx与gx在Fx中58的最大公因式相同4fx与gx在Fx中互素当且仅当fx与gx在Fx中互素.解1对2对3错4对9.证明定理4.2.5和定理4.2.6.证明定理4.2.5的证明与定理4.2.2的证明完全类似故略去.下面只给出定理4.2.6的证明。设xfxws与的最大公因式是xd则.xfxdxwxds且又因为121xfxfxfxws是的最大公?蚴浇鴛fxwi121si所以..121xfxdsixfxdsi而这说明11xfxfxfxdss是的公因式.令.121ssixfxhxFxhi∈且这里11xfxfxhs是的公因式而11xfxfxws是的最大公因式因此.xwxh再利用xfxwxds与是的最大公因式且.xdxhxfxhxwxhs知综上所述可知11xfxfxfxhss是的最大公因式。定理4.2.6得证。10.设在Fx中dx是g1xg2x…gsx的公因式且gjxdxhjxj12…证明s.dx是g1xg2x…gsx的最大公因式59当且仅当h1xh2x…hsx互素.证明充分性因为21xhxhxhs互素所以存在1221121xhxuxhxuxFxuxuxus∈使.xhxuss两端同乘以xd得2211xgxuxgxuxgxuxdss这说明xd是21xgxgxgs的最大公因式。必要性由于21xgxgxgxds是的最大公因式由定理4.2.5知存在21xFxvxvxvs∈使∑siiixgxvxd1即有∑siiixhxdxvxd1事先假定0≠xd因此有∑siiixhxv11故h1xh2x…hsx互素。11.证明如果fxgx1fxhx1那么fxgxhx1.推广之你可得出什么结论证明由1xgxf知存在xvxu使.1xgxvxfxu又由1xhxf知存在11xvxu使111xhxvxfxu。所以111xhxvxfxuxgxvxfxu6011111xhxgxvxvxfxhxvxuxgxuxvxfxuxu因此.1xhxgxf推广该结论我们有以下结论1若1xgxfisi21则.121xgxgxgxfs2若1xgxf则对任意正整数lk有.1xgx