“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至，使O=AO；连结B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与C是相等的。而B是一条线段，所以B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=C+CB=B也是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．分析与解：正方形ABCD是轴对称图形，对角线AC所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B、D关于对角线AC对称,在这个问题中D和E是定点，P是动点。我们可以找到一个定点D的轴对称点B，连结BE，与对角线AC交点处P就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE的和的最小值恰好等于BE,因为正方形的面积为12，所以它的边长为2，即PD+PE的最小值为2。二、演变成与梯形有关的试题例2（2009鄂州）已知直角梯形ABCD中AD∥BC,AB⊥BC，AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，⊿APD中边AP上的高为（）A．B．C．D．3BCDAP图4分析与解：如图，先作出A点关于BC的对称点E,连结DE交BC于P点，连结AP,再过点D作DF⊥BC于F,过点D作DG⊥AP于G.先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得DF=4,从而AB=4,再由AB=BE且AD∥BC,知道BP是⊿ABE的中位线，∴BP=AD=1得AP=.因为⊿ADP的面积=ADDF=APDG,所以AP边上的高DG为=,即正确答案是C.三、演变成与圆有关的试题例3（2009龙岩）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为.分析与解：首先根据对称知识确定点P的位置，连结BC交MN于点P，根据垂径定理易知AE=4,CF=3,EF=7.再过C作CG⊥AB于点G,在Rt⊿BCG中，CG=EF=7,BG=BE+EG=3+4=7,所以PA+PC的最小值为BC=7.四、演变成与直角坐标系有关的试题例4（2009孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．分析与解：点A和B在直角坐标系下的位置如图8，此问题中A,B是定点，而点C（1，n）在直线x=1上,可以找出A点关于直线x=1的对称点Aˊ坐标是(–1,-2),经过点B和Aˊ的直线解析式为y=x-，所以当x=1时n=-。这题与点的坐标和一次函数知识想结合，考查了学生的数形结合能力。解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位置，就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。五、演变成与一次函数有关的试题例5（2009荆门）一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．如图9(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．图9分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y＝－2x＋4；求PC＋PD的最小值时既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使PC+PD的值最小的点的位置。如图10，设点C关于点O的对称点为，连结P、D，则PC＝PC′．∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)六、演变成与二次函数有关的试题例6（2009重