自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1.自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{xt}中的每一个元素xt，t=1,2,…都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即E(xt)=,t=1,2,…(2.25)随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量Var(xt)=E[(xt-E(xt))2]=E[(xt-)2]=x2,t=1,2,…(2.26)x2用来度量随机过程取值对其均值的离散程度。相隔k期的两个随机变量xt与xt-k的协方差即滞后k期的自协方差，定义为k=Cov(xt,xt-k)=E[(xt-)(xt-k-)](2.27)自协方差序列k,k=0,1,…,K,称为随机过程{xt}的自协方差函数。当k=0时0=Var(xt)=x2自相关系数定义k=（2.28）因为对于一个平稳过程有Var(xt)=Var(xt-k)=x2(2.29)所以（2.28）可以改写为k===（2.30）当k=0时，有0=1。以滞后期k为变量的自相关系数列k,k=0,1,…,K(2.31)称为自相关函数。因为k=-k即Cov(xt-k,xt)=Cov(xt,xt+k)，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。2.自回归过程的自相关函数(1)平稳AR(1)过程的自相关函数AR(1)过程如下xt=xt-1+ut,1已知E(xt)=0。用xt-k同乘上式两侧xtxt-k=xt-1xt-k+utxt-k上式两侧同取期望，k=1k-1其中E(xt-kut)=0（ut与其t-k期及以前各项都不相关）。两侧同除0得,k=1k-1=11k-2=…=1k0因为o=1。所以有k=1k,（k0）对于平稳序列有。所以当1为正时，自相关函数按指数衰减至零（过阻尼情形），当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。1>>0（经济问题中常见gener1-x2）-1<<0（经济问题中少见gener1-x3）图2.6AR(1)过程的自相关函数同理，对于=和>情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下图。=1.1（强非平稳过程）=1（随机游走过程）（2）AR(p)过程的自相关函数用xt-k,(k同乘平稳的p阶自回归过程xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut(2.32)的两侧，得xt-kxt=1xt-kxt-1+2xt-kxt-2+…+pxt-kxt-p+xt-kut(2.33)对上式两侧分别求期望得k=1k-1+2k-2+…+pk-p，k0(2.34)上式中对于k0，xt-k发生在ut之前，所以xt-k与ut不相关，有E(xt-kut)=0。用0分别除（2.34）式的两侧得Yule-Walker方程k=1k-1+2k-2+…+pk-p，k0(2.35)令(L)=(1-1L-2L2-…-pLp）其中L为k的滞后算子，则上式可表达为(L)k=0因(L)可因式分解为，(L)=,则（2.35）式的通解（证明见附录，不要求掌握）是k=A1G1k+A2G2k+…+ApGpk.(2.36)其中Ai,i=1,…p为待定常数。这里Gi-1,i=1,2,…,p是特征方程(L)=(1-1L-2L2-…-pLp)=0的根。为保证随机过程的平稳性，要求|Gi|1,i=1,2,…,p。这会遇到如下两种情形。①当Gi为实数时，(2.36)式中的AiGik将随着k的增加而几何衰减至零，称为指数衰减（过阻尼情形）。②当Gi和Gj表示一对共轭复数时，设Gi=a+bi,Gj=a–bi,=R，则Gi,Gj的极座标形式是Gi=R(Cos+iSin)Gj=R(Cos-iSin)若AR(p)过程平稳，则Gi<1，所以必有R<1。那么随着k的增加，Gik=Rk(Cosk+iSink)Gjk=Rk(Cosk-iSink)自相关函数（2.36）式中的相应项Gik,Gjk将按正弦振荡形式衰减（欠阻尼情形）。实际中的平稳自回归过程的自相关函数常是由指数衰减和正弦衰减两部分混合而成。③从