课前自主学案1．充分条件和必要条件“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作_______，并且说p是q的_______条件，q是p的________条件．当命题“若p则q”为假命题时，记作pq．在这种情况下，p是q的_______条件，q是p的_______条件．2．充要条件(1)如果既有______，又有_____，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称______条件．(2)概括地说：如果_______，那么p与q互为充要条件．若p是q的充分条件，那么p唯一吗？提示：不唯一．如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等也都是x>0的充分条件．课堂互动讲练【思路点拨】只需按充分、必要条件的定义，分析若p成立，q是否成立，再反过来，q成立时，p是否成立．【解】(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，反过来，若a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为函数f(x)＝2x＋1⇒f(x)是增函数，但f(x)是增函数f(x)＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)取α＝150°，β＝30°，α>β，但sin150°＝sin30°，即pq；反之，sin60°>sin150°，但60°>150°不成立，则qp，所以p是q的既不充分也不必要条件．【名师点评】一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件和结论是不等关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，那么，若A⊆B，则p是q的充分条件，若B⊆A，则p是q的必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．www.niuwk.com牛牛文库文档分享解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．www.niuwk.com牛牛文库文档分享www.niuwk.com牛牛文库文档分享www.niuwk.com牛牛文库文档分享【名师点评】(1)在证明充要条件问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意题目给出的格式，若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”就是p⇒q.若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若直接证明不易证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后再加以证明．自我挑战2求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.www.niuwk.com牛牛文库文档分享根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．www.niuwk.com牛牛文库文档分享【名师点评】本题将充分条件、必要条件的问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现了转化与化归的思想，设p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}．现有如下的联系：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．证明p是q的充要条件应注意的地方(1)首先应分清条件和结论，并不是在前面的就是条件．如若要证“p是q的充要条件”，则p是条件，q是结论；若要证“p的充要条件是q”，则q是条件，p是结论．这是易错点．(2)必要性与充分性不要混淆．必要性是由结论去推条件，充分性是由条件去推结论．(3)充要性的证明必须充分性、必要性同时证，不要只证充分性或只证必要性．