3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的．4．反证法与证命题的逆否命题反证法首先，即假定结论．由此出发直至推出、；证命题的逆否命题，即由的否定推出的．1．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件，而不是必要条件；③r是q的必要条件，而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件，而不是充分条件；⑤r是s的充分条件，而不是必要条件．则正确命题的序号是()A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤2．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0<x<5,x∈R}，则()A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件C．“x∈P”是“x∈Q”的充分必要条件D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件答案：A3．(2009·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B4．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：本题考查充分必要条件；由于y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，故其最小正周期若为π，则ω＝±2，故ω＝2是其最小周期为π的充分但不必要条件．答案：A5．①一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数；②是无理数；③经过平面内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；④若向量a、b是平面向量的一组基底，则a＋b与a－b也是平面向量的一组基底．其中正确命题的代号是______________．解析：可用反证法证明，①②③④都为正确命题．答案：①②③④【例2】若ab≠0，试证a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.证明：先证必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a2－ab＋b2＝≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1.再证充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.变式2.已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明：∵a2－b2＝1，∴a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.另一方面又a4－b4－2b2＝1，即为a4－(b4＋2b2＋1)＝0.a4－(b2＋1)2＝0，(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分条件，也是a4－b4－2b2＝1的必要条件.“正难则反”是常见的数学思想方法，比如证明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等问题时，可考虑使用反证法，反证法在立体几何定理的推导过程中也有着较为广泛的应用．解答：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0为真命题．用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0为真命题．因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命题为真．变式3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解答：(1)证明：证法一：(反证法)若{Sn}是等比数列，则＝S1S3，即∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列证法二：只需证明SnSn＋2≠，∵Sn＋1＝a1＋