第二章隨機變數及其分配一、教學基本要求1正確理解隨機變數的概念。2熟練掌握離散型隨機變數及其機率函數；連續型隨機變數及其機率密度函數。3掌握累積分配函數的概念，連續型隨機變數密度函數與累積分配函數的關係。4會求簡單隨機變數函數的分配。5瞭解超幾何分配，幾何分配，均勻分配，指數分配，熟練掌握二項分配，常態分配，波氏分配；掌握二項分配的波氏近似及二項分配的常態近似，會查常態分配表。二、內容提要1引入隨機變數這一基本概念，介紹如何用隨機變數描述隨機現象。2介紹兩類最常見的隨機變數：離散型隨機變數和連續型隨機變數。給出描述離散型隨機變數的機率函數的定義、性質；描述連續型隨機變數的機率密度函數的定義、性質。3結合連續型隨機變數機率密度函數的引入，介紹繪製頻數直方圖和頻率直方圖的方法、步驟。4介紹累積分配函數的概念、性質；離散型和連續型隨機變數的累積分配函數。5舉例說明如何求隨機變數函數的分配。6介紹二項分配、波氏分配和常態分配的實際背景、性質、特點、計算及應用。三、重點與難點本章重點是：1三個基本概念：隨機變數；離散型隨機變數的機率函數、連續型隨機變數的機率密度函數。2三個重要分配：二項分配、波氏分配和常態分配。二項分配的波氏近似。二項分配的正態近似，常態分配的計算。3如何求隨機變數函數的分配。本章難點是：1連續型隨機變數的機率密度函數的意義。2累積分配函數的意義。3隨機變數函數的分配。第一講隨機變數(randomvariable)的概念隨機變數是描述隨機現象的主要工具。在一定意義上說，它是上一章所討論的隨機事件概念的推廣。在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數量來表示，由此就産生了隨機變數的概念。例如，10個産品中有3個次品，從中任取2個，其中的次品數，就是一個變數。它可能取0，1，2中的任一個值，這個變數取到哪個值是隨機的，在試驗前不能準確預言。又如，觀察某城市7月裏一天的最高溫度，這個溫度也是一個變數，它可能取某個區間內的一個實數(比如30℃～45℃)，而且它取這些數值中的哪一個也是帶有隨機性的，事先無法準確預言。我們把這種取值帶有隨機性的變數稱作隨機變數。可以說，隨機變數就是“取值隨機會而定”的變數，正如隨機事件是“其發生與否隨機會而定”的事件。例如，你買了一張獎卷，主辦人員要等到賣出一萬張才開獎，在未開獎之前，你中獎的金額是一個隨機變數，其值要等到賣出一萬張，進行抽獎試驗後才知道。還如，擲一枚硬幣，觀察出正還是出反，我們引進一個變數X，用它表示正面出現的次數，當出現正面時，令X=1；當出現反面時，令X=0。即X=1擲出正面X=0擲出反面，則X是一個隨機變數。試驗中它到底取哪個值，要等擲硬幣後才知道。由於試驗結果的出現有一定的機率，於是隨機變數取每個值或取某個確定範圍內的值的機率也是確定的。例如，在前述次品例中，設X爲取出的2個産品中的次品數，取出不放回，則P｛X=i｝=(i=0,1,2)在擲硬幣的例中，假定硬幣是均勻的，則P｛X=0｝=P｛X=1｝=0.5我們可以舉出許多隨機變數的例子，例如，一月內某交通路口的事故數X；某地區7月份的最高溫度Y；用天平稱量某物體質量的誤差Z等，都是隨機變數。隨機變數通常用大寫字母X，Y，Z或希臘字母ζ，η等表示，而表示隨機變數所取的值時，一般採用小寫字母x,y,z等。例如，當我們涉及到從某一學校隨機選一學生，測量它的身高時，我們可以把可能的結果看作隨機變數X，然後我們可以提出關於X的各種問題，一旦我們實際選定了一個學生並量了他的身高之後，我們就得到X的一個具體的值，記作x，這時，要麽x≥1.7米，要麽x＜1.7米，再去求P｛x≥1.7米｝就沒有什麽意義了。搞清隨機變數與它取的值之間的區別對今後學習是重要的。引入隨機變數後，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變數表達出來，例如，單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數用X表示，此時，“收到不少於1次呼叫”“X≥1”“沒有收到呼叫”X=1“、“X=0”。又如，X表示某元件的壽命，則“壽命在200小時和1000小時之間200≤X≤1000”。可見，隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變數這個更廣的概念內。也可以說，隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象，而隨機變數則是一種動態的觀點，就像數學分析中常量與變數的區別那樣。機率論能從計算一些孤立事件的機率發展爲更高的理論體系，其基礎概念就是隨機變數。隨機變數概念的産生是機率論發展史上的重大事件，引入隨機變數後，對隨機現象統計規律的研究，就由對事件及事件機率的研究擴大爲對隨機變數及其取值規律的研究。這一講，我們介紹