关于分式和的几个结论的证明及应用在国内外各级各类的数学竞赛中，经常出现一些与分式和有关的不等式的证明问题，本文总结了关于分式和的几个一般性结论，为了便于结论的证明，我们先将向量数量积的概念进行合理的推广：1．向量数量积概念的推广对于平面向量m=（a,b）、n=(c，d)，m与n的数量积是mn=︱m︱︱n︱cos=ac＋bd,为m与n的夹角，其范围是0≤≤。对于三维空间向量m=（a,b,c）n=(d,e,f).它们的数量积为mn=︱m︱︱n︱cos=ad＋be＋cf.，为m与n的夹角，其范围是0≤≤。︱m︱、︱n︱分别是向量m与n的模：︱m︱=a2b2c2，︱n︱222=def。向量数量积的概念可推广到n维欧几里得空间：设m=（x1,x2,…，xn）,n=(y1,y2,…，yn)。m与n的夹角为,范围是0≤≤。定义m与n的数量积为mn=︱m︱︱n︱cos=x1y1+x2y2+…+xnyn.︱m︱、︱n︱分别是向量与的模：︱︱＝222，︱︱＝222，则mnmx1x2xnny1y2yn＝222222cos，当与平行时，mnx1x2xny1y2ynmnm=nR，若＞0，则m与n同向，=0。若＜0，则m与n反向，=。当m⊥n时，mn=0，此时=。22．向量数量积的应用在本文中，多处用到柯西（Cauchy）不等式，我们先用向量法证明此不等式：2222222(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)证明：设m=（a1,a2,…,an）,n=(b1,b2,…,bn),m与n的夹角为,范围是0≤≤。222222则＝ab＋ab＋…＋ab＝cosmn1122nna1a2anb1b2bn22222222所以(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)＝(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)cos222222≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)。下面我们用向量法来证明与分式和有关的几个结论。用心爱心专心1结论1已知x1,x2,…,xn是满足x1＋x2＋…＋xn=A的非负实数，xxxnA且k＞0，则1+2+…+n≤.。1kx11kx21kxnnkAxxx证明：设m＝（1，2，…，n），1kx11kx21kxnn＝（x1(1kx1)，x2(1kx2)，…，xn(1kxn)），且m与n的夹角为（０≤≤）。则m·nx1x2xn＝x1(1kx1)＋x2(1kx2)＋…＋xn(1kxn)1kx11kx21kxn＝x1＋x2＋…＋xn＝x1x2xn1kx11kx21kxn222cos(x1x2xn)(kx1x2xn)xxx＝12n222cosAk(x1x2xn)1kx11kx21kxn222222∵n(x1＋x2＋…＋xn)＝(1＋1＋…＋1)(x1＋x2＋…＋xn)≥(x1＋x2＋…＋2xn)，(xxx)2A2∴(x2＋x2＋…＋x2)≥12n=,12nnn当且仅当x1＝x2＝…＝xn（≥０）取等号，此时m与n同向，即＝０，cos=1.2x1x2xnA∴A≥Akcos1kx11kx21kxnn2x1x2xnA＝Ak1kx11kx21kxnnxxxA2nA∴1＋2＋…＋n≤＝。1kx1kx1kxA2nkA12nAkn用心爱心专心2xyz3例１已知正数x、y、z满足x+y+z=1，试证明：＋＋≤。1x1y1z4xyz313证明：∵n=3,A=1，k=1∴由结论１，＋＋≤＝。1x1y1z3114结论２已知x1,x2,…,xn是满足x1＋x2＋…＋xn=A的非负实数，x1x2xnnA且k＞0，１－kxi＞0(I=1,2,…,n),则＋＋…＋≥。1kx11kx21kxnnkAxxx证明：设m＝（1，2，…，n），1kx11kx21kxnn＝(x1(1kx1)，x2(1kx2)，…，xn(1kxn)),且m与n的夹角为（０≤≤）。则m·n＝x1＋x2＋…＋xnxx＝1n××cosx1(1kx1)xn(1kxn)1kx11kxnxx