柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用Summary：Cauchy'sinequalityisaveryimportantinequality,thisarticleusesixdifferentmethodstoprovetheCauchyinequality,andgivessomeCauchyinequalityininequality,solvingthemostvalue,solvingequations,trigonometryandgeometryproblemsintheareasofapplication,thelastuseditprovedthatpointtothestraightlinedistanceformula,betterexplainstheCauchyinequality.Keywords：Cauchyinequality,proofapplication不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。用心爱心专心1一、相关定理柯西不等式是指下面的定理nnn222定理设则abii,Ri(1,2,...,n),()()(abiiaibi)iii111当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当baiii(1n).柯西不等式有两个很好的变式：na2()a2变式1设ii,aRbiii,0(1,2,...,n),i1bbii等号成立当且仅当bainii(1)n()a2aii变式2设ai,bi同号且不为0（i=1，2，…，n）则,i1baiibi二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：nnn作差：因为222()()(abijabii)ij11i1nnnn22()()()(abijababiijj)ij11i1j1用心爱心专心2nnnn22abijababiijjij11ij11nnnnnn12222(2abijabjiababijji)2ij11ij11ij11nn12222(2abijababijjiabji)2ij11nn12()abijajib02ij11nnnnnn所以222，即222()()(abijabii)0()()(abijabii)ij11i1ij11i12222222即()ab11ab22……abnn()a1a2……an(b1b2……bn)当且仅当abijajib0(i,j1,2,……,n)aiaj即(injnb1,2,……,;1,2,……,;j0)时等号成立。bbij2）利用判别式证明（构造二次函数法）nn若2，则此时不等式显然成立。若2，ai0aa12....an0.ai0i1i1nnnn2构造二次函数222对于fxaxii2abxibiaxiib0ii11i1i1xR恒成立，所以此二次函数fx的判别式△≤0，即得证。3）用数学归纳法证明用心爱心专心3222i）当n1时，有()ab11a1b2，不等式成立。22222当n=2时，()ab11ab22ab12ab222abab1122()()a2a2b2b2ab22ab22ab22ab22121211221221。222222222因为ab12ab212abab1122，故有()()(ab11ab22a1a2b1b2)aa12当且仅当ab12ab21，即时等号成立。bb12ii）假设nk时不等式成立。