高考中数列和不等式证明的交叉数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时，一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的结合在了一起。例1设an和bn分别是等差数列和等比数列，且a1b10，a2b20，若a1a2，试比较an和bn的大小。分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数n把他们组合在一起。设an的公差为d，bn的公比为q。显然q0，因为a2b20，所以有，a1da1q，即a1q1d。n1n1abandaqnn111aan111q1aq1。又因为a1a2，所以n1a21qq1。若q1时，anbna11qn1=a11q2n22n1=a11q1qqqn1。因为1qqqn1，，1q02n1所以有：anbn。若0q1时，1qqqn1，1q0，所以也有：anbn。综上所述，当nN，且n2时，anbn。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用，是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，时问题得以简化。例2已知递增的等比数列an前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列，123n求证：1。a1a2a3an分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意，an是等比数列，所以左边2的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。由a1a3a2可得，用心爱心专心13a1a2a3a2512，所以a28。再设等比数列an的公比为q。则根据条件可得：81a14n118q9283，解得，q2或q（舍去）。所以，因此，an2。q2q2令S123n=123n----------①，则n234n1a1a2a3an22221123nSn--------------②，22324252n2由①-②得，11111nSn，即，22223242n12n21111n1nSn=11222232n2n12n2n1例3在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若另插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：a12b1c1分析：不等式左边有字母a，右边有不同字母b、c，要比较两边的大小，必须寻找a、b、c三xy者之间的联系，利用数列的关系可得：a，b3x2y，c3xy2。为计算方便，我233们再令m3x0，n3y0，则amn，，bm2ncmn2，那么，23322mn22a1b1c11mn1mn1=2332mn222=mnmn0，得a1b1c1。2例4设a0，且a2aa，求证：对一切自然数n，都有a1。nnnn1nn22分析：因为ananan1，所以an1ananan1an，由已知an0，所以有，an1an0，即0an1。又因为an1an1an，则有，1111，所以1111。an1an1anan1anan1an1an11在上式中取n1,2,,n1，得n1个不等式，把它们相加得，n1，于是，ana1用心爱心专心2111n1n11n，因此，an。在此题的证明过程中，我们巧妙的利用了数列ana1n求和的累加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。2xn例5设a2，给定数列xn，其中x1a，且满足xn1。2xn1xn1求证：xn2且1。xn分析：这是1984年的高考题