暑假作业(二十八)一.选择题:1．在数列{an}中，已知对任意正整数n，都有a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，那么等于()A．4nB．4n－1C．2nD．2n－12．设Sn,Tn分别是两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，都有，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项之比是()A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶713．如果函数f(x)满足：对于任意实数a、b，都有f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=2，则()等于A．250-2B．250-1C．250+1D．250+2二.填空题:4．数列满足，则数列的通项公式=_____________．5．若等差数列的前项和为，且，等比数列的前项和为，且，那么的值为。6．有限数列为其前项和，定义的“凯森和”，如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列的“凯森和”为____________.三.解答题:7．已知函数f(x)=4sinxsin2()+cos2x，（1）求使f(x)>0的x的取值集合；（2）若10个互不相等正数xi满足f(2xi+)=3且xi<10(i=1,2,…，10)，求S=x1+x2+…+x10的值；（3）设集合A={x|≤x≤},B={x||f(x)–m|<2}，若AB，求实数m的取值范围．8.已知：（Ⅰ）求（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求证：9.已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，。（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围。10．设函数f1(x)＝,fn＋1(x)＝f1[fn(x)]，其中n∈N*．（1）记(n∈N*)．试确定an与an－1的关系，并求数列{an}的通项公式；（2）记(n∈N*)．若存在x∈[2,＋∞，使得不等式|an(x)|<r(r>0)成立，则an(x)至少是数列{an(x)}中的第几项？暑假作业(二十八)一.选择题:BAA2.解：，当时，有，选A。3.解：原式=，选A。二.填空题:4.5.6.5.解：在等差数列中，成等差数列，又由，可得。在等比数列中，成等比数列，又由，可得，。故填。6.解：中的中的每一项都加了一个“1”．，∴此时的“凯森和”为三.解答题:7.解：（1）f(x)=2sinx[1–cos(+x)]+cos2x=2sinx(1+sinx)+1–2sin2x=2sinx+1.由f(x)>0得sinx>–，∴x∈(2k–,2k+),k∈Z.（2）由f(2xi+)=3,得2sin(2xi+)+1=3,∴sin(2xi+)=1,即2xi+=2k+,∴xi=k+(k∈Z).∵0<xi<10,∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)+10×=.（3）由|f(x)–m|<2，得–2<f(x)–m<2，即f(x)–2<m<f(x)+2,∵AB，∴当≤x≤时，不等式f(x)–2<m<f(x)+2恒成立.∴[f(x)–2]max<m<[f(x)+2]min,∵f(x)min=f()=2,f(x)max=f()=3,∴m∈(1,4).8.解：（Ⅰ）由已知.，∴.（Ⅱ）∴对于任意的.（Ⅲ）,eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)①-②得,.∴.9.解：（1）当时，.当≥2时，=，.此时·=·，……=.设……+，……＋，.（2）由可得:当时，由可得，对一切都成立，此时的解为.当时，由可得≥对一切都成立，此时的解为.由，可知，对一切都有的的取值范围是或.10.解：（1）∵fn＋1(0)＝f1[fn(0)]＝,∴an＝(n≥2,n∈N).又a1＝,∴an＝.（2）仿（1）可得,∴.由x∈[2,＋∞，则|an(x)|<r<r(1－2nr)x<2n＋1r＋1（*）当1－2nr≤0即n≥log2时，（*）成立，当1－2nr>0即n<log2时，由（*）可得，于是，∴n>log2,由、知，要使（*）成立，n的取值范围是n>log2且n∈N*,故当log2<1即r>时，n的最小值为1，当log2≥1即0<r≤时，n的最小值为[log2]＋1.方法二：∵x≥2,∴|an(x)|<r<r1－<r·2n，而y＝1－在[2,＋∞上的最小值为，故必须且只需<r·2n，∴n>log2且n∈N*.(下同)