暑假作业(三十)一.选择题:1．直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上,如图，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为()A．B．C．D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sinθ2,4,6的值等()A．B．C．D．3．若正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()A．1∶3B．1∶(3+)C．(1+)∶3D．(-1)∶3二.填空题:4．已知60°二面角中，动点，动点，，垂足为，且，则点到平面的最大距离为_______________。5.已知三棱锥各侧面与底面成60°角.底面三角形的各角成等差数列，且最大边与最小边是方程3x2-21x+13＝0的两根.则此三棱锥的侧面积为.6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出下列四个命题：①点P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；②点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③点P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；④点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过D1点的直线。其中真命题的序号是_______________。（写出所有真命题的序号）三.解答题:7．已知长方体的一个顶点到它的对角线的距离为常数，若长方体的高，对角线长为．（1）试求关于的函数关系式；（2）求的最小值，并求出此时长方体的高．8．已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，，BC=2，，且，（1）求侧棱与底面ABC所成的角的大小；（2）求侧面与底面ABC所成的二面角的大小；（3）求顶点C到侧面的距离。9．如图，垂直于直角梯形所在平面，=，．BPADC（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使直线与所成角大小为？如果存在，求出点的位置；如果不存在，说明理由．10．、分别是棱长为2的正方体的棱、上的动点（异于端点），且。（1）求与所成角的大小；（2）当、分别是、的中点时，求与平面所成角的大小；（3）求二面角的正切值取值范围。暑假作业(三十)一.选择题:BAD3.解：设三侧棱为a，∴外接球半径，内切球半径，选D。二.填空题:4.5.6.①③④5.解：∵底面三角形各角成等差数列，∴。又∵最大边，最小边为两根，设A<B<C，∴,。又∵，∴，∴。设ΔABC内切圆半径r，∴AG=AF，CF=CE，又∵AB+BC=7，∴BG+BE=1，又∵BG=BE，∴BG=，GO=，∴PG=，∴。6.解：。于是，点P在直线BC1上运动时，点P到平面ACD1的距离不变，即不变，∴命题①正确；当点P在直线BC1上运动时，点P到平面ACD1的距离不变，但PA的长度在变化，即直线AP与平面ACD1所成角的大小在变化，∴命题②不正确。当点P在直线BC1上运动时，点P到平面ACD1的距离不变，且点室直线AD1的距离也不变，即二面角P-AD1-C的大小不变，∴命题③正确。由点M到点D和C1的距离相等，知MD和MC1在平面DD1C1C上的射影也相等，∴点M在平面DD1C1C上的射影为点D1，即点M的轨迹是直线A1D1，∴命题④正确。故填①③④。三.解答题:7.解：设长方体的长、宽分别为。（1）由长方体的性质有，。（2）（当且仅当，即时的等号成立）所以的最小值为，此时长方体的高为．8.解:（1）作，垂足为D。由面面ABC，得面ABC，如图。∴为A1A与面ABC所成的角。∵，AA1=A1C，∴为所求。（2）作，垂足为E，连A1E，则由面ABC，得。∴是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。由已知，，得ED∥BC。又D是AC的中点，BC=2，，∴DE=1，,。故为所求。（3）由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是点C到平面A1ABB1的距离。连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。又，知HB∥A1E，且BC∥DE，∴。∴为所求。解法二：连结A1B。根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥的高h。由，得，即,∴为所求。9.证：（1）∵⊥平面，平面，∴，⊥，，∴⊥平面，又平面，∴平面平面．（2）作于，于，连，∵底面，∴平面⊥平面，∴平面，由三垂线定理知，∴是二面角的平面角．由，得，,，∴二面角的大小为．（3）设是上的点，作交直线于，连，则为与所成的角，设，则，或，∵，∴，∵，∴，从而，即，或，∴，或，所以满足条件