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PAGE-8-重庆理工大学考试试卷2012~2013学年第一学期一、单项选择(每小题2分,共20分)1、若是六阶行列式中带正号的一项,则之值为().(A)(B)(C)(D)2、设行列式,,则与的关系为()(A)(B)(C)(D)3、设阶方阵、、满足,则必有()(A)(B)(C)(D)4、设、为三阶方阵,则()(A)(B)(C)(D)5、设为4阶方阵,当时,则为()(A)(B)(C)(D)6、设、为阶方阵,且,则()(A)(B)(C)(D)7、已知向量组线性无关,则下列向量组中线性相关的是()(A)(B)(C)(D)8、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知,,是它的三个解向量,则该方程组的通解为()(A)(B)(C)(D)9、设是三阶矩阵,的特征值为,则在下列矩阵中为可逆矩阵的是()(A)(B)(C)(D)10、二次型当()时,其秩为。(A)(B)(C)(D)二、填空题(每小题3分,共18分)1、若行列式,则。2、设、为阶方阵,则的充分必要条件是。3、设向量,满足则。4、设向量,且可由线性表示,则5、设,,则。6、已知三阶矩阵的特征值为,则。三、计算题(第1-6小题每小题6分,第7、8小题每小题8分,共52分)1、设行列式,计算的值,其中表示行列式中元素的代数余子式。(6分)2、设,求。(6分)3、设三阶矩阵,求秩。(6分)4、求非齐次线性方程组的通解。(6分)5、设的一个特征值为,求。(6分)6、已知,求一组非零向量,使得向量两两正交。(6分)7、求矩阵的列向量组的一个最大线性无关组,并把不属于最大线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。(8分)8、求一个正交变换,把二次型化为标准形。(8分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、设,且为阶对称阵,证明为正交阵.2、设向量组线性无关,证明:向量组线性无关.线性代数(理工)A卷参考答案与评分标准2012~2013学年第一学期一、单项选择(每小题2分,共20分)12345678910BDDDCCCAAB二、填空题(每小题3分,共18分)1、2、3、4、5、6、三、计算题(第1-6小题每小题6分,第7、8小题每小题8分,共52分)1、设行列式,计算的值,其中表示行列式中元素的代数余子式。解:……2分……6分2、设,求。解:……2分……5分故……6分3、设三阶矩阵,求秩。解:……3分故当时,;当时,;当且时,。……6分4、求非齐次线性方程组的通解。(6分)解:……3分于是通解为:……6分5、设的一个特征值为,求。(6分)解:因为矩阵的一个特征值为,则,……2分于是……5分故或……6分6、已知,求一组非零向量,使得向量两两正交。(6分)解:应满足方程,即,……2分它的基础解系为,把基础解系正交化即为所求,亦即取,……6分7、求矩阵的列向量组的一个最大线性无关组,并把不属于最大线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。(8分)解:……3分则为一个最大线性无关组,……5分且,。……8分8、求一个正交变换,把二次型化为标准形。(8分)解:二次型的矩阵为,由得特征值有:……3分时,解方程由得基础解系,把单位化得时,解方程由得基础解系,令时,解方程由得基础解系,把单位化得……6分令,于是有正交变换,把二次型化为标准形。……8分四、证明题(每小题5分,共10分)1、设,且为阶对称阵,证明为正交阵.证明:,由于,……3分于是,故为正交阵。……5分2、设向量组线性无关,证明:向量组线性无关.证明:设,由,有,即,……2分由于线性无关,于是,由于,则关于的方程组只有零解,即,故向量组线性无关.……5分