刘维尔数论猜想的完全证明及变式研究队员李凯旋教师李春雷邮编102488学校北京师范大学良乡附属中学电话010-8138052913552999981电子邮箱gjl680616292@163.com摘要：我的项目是以北京师范大学孙瑞清教授编写的《趣题妙解》中的一段材料为背景，对其中的法国数学家刘维尔的“令人惊奇的步骤”得到的发现提出了质疑，并提炼成一个猜想：任何一个大于1的自然数，它的每一个因数的因数的个数的立方和，恰好等于它的每一个因数的因数的个数的和的平方.该项目将其称之为刘维尔数论猜想.项目的目标是证明这个猜想的正确性以及对猜想进行变式研究.研究的策略是从特殊到一般，先简单后复杂，逐渐归纳出最一般情况的结论.笔者曾经在小学五年级用高中的二项式定理、累加法，分别证明了对于可写成其中、、、是质数且两两不等、a1×a2×L×an(a1a2Lan)an(,)a为质数n∈N*的自然数，刘维尔数论猜想都是正确的，并将这一研究成果形成论文《刘维尔猜想的证明》，公开发表在《中学数学研究》2006年第8期(总第243期)的第48-50页上.但因为当时水平有限，证出来的结论只是刘维尔数论猜想的两种特殊情nnm况，还未能够将刘维尔数论猜想彻底证明.在之后的时间里，我继续研究了能够写成a1×a2、a1×a2(a1、a2是质数且不等，*α1α1α2α1α2α3n,)m∈N的自然数，刘维尔数论猜想都是正确的.对于特殊的自然数a1、a1×a2、a1×a2×a3，我比较了它们各自的αααα刘维尔数论结论的结构特征，从而大胆预言了对于任一可写成123n、、、…、都是质a1×a2×a3×L×an(a1a2a3an数并且两两不等，*的自然数，刘维尔数论猜想也都应有类似的结构特征，这为刘维尔数论猜想的α1、、、、α2α3Lαn∈N)n完全证明铺平了道路.对于可写成a(,)a为质数n∈N*的特殊自然数，我给出了刘维尔数论猜想所得等式的一个漂亮的几何解释；对于任意一个自然数，我还发现了它的因数的因数的立方和以及和的平方的表达式，都隐藏着易于记忆的完美的结构特征，这可以使得我们迅速得到等式，还可立即算出立方和以及和的平方的数值.最后又对刘维尔数论猜想进行了变式研究，分别探讨了任何一个大于1的自然数，它的每一个因数的因数的个数的平方和以及积的结果.研究过程中存在很多荆棘和挑战，我也为长达三年时间的苦思冥想，最终将猜想彻底证明而欢欣鼓舞.做项目给了我一个广阔的创造空间.Abstract：BasedonamaterialofthebooknamedInterestingproblems,WonderfulsolutionwrittenbySunRuiqing,aprofessorfromBeijingNormalUniversity,IraisedthequestiontoadiscoverycomingfromanamazingapproachofFrenchmathematicianLiouvilleanddevelopedintoaconjecture:toanynaturalnumberthatisover1,thesumofcubesofthefactornumberoffactorsofitsfactorsisequaltothesquareofthesumofthefactornumberoffactorsofitsfactors,whichiscalledLiouvilleMathematicalConjecture.Theaimofthisresearchistoprovetheconjecture’svalidityandtodoaresearchonitsvariousforms.ThetacticthatIuseistoresearchfromthespecialtothegeneral,fromthesimpletothecomplexandtodrawaconclusiononthemostgeneralcase.WhenIwasaprimarystudentofGrade5,IappliedbinomialtheoremandthemethodofcontinuousplusstudiedinseniorschoolrespectivelytoprovethatLiouville、、、MathematicalConjectureiscorrectforthenaturalnumberwrittena1×a2×L×an(a1a2Lanisaprimenumberandanyprimenumberisnotequaltotheother),andthenaturaln