http://www.paper.edu.cnCotalan猜想的完全证明唐子周唐世杰新疆.且末县中学841900摘要针对凯特兰（Cotalan）猜想采用了反证法、命题转化法，根据笛卡尔符号法则、阿贝尔群理论及数论定理完全证明了该猜想成立。关键词凯特兰猜想;勾股数定理;命题转化法;阿贝尔群;笛卡尔符号法则1.1引言凯特兰于1842年提出：除了8=23，9=32以外没有两个连续数都是正整数乘幂的猜想。即不定方程xp1yq，其中p，q均是素数，除了8=23，9=32以外没有其它的正整数解。160多年来数学家们证明了下列定理：欧拉(Euler)首先证明了不定方程x21yq，当q=3时猜想成立;大约1961年卡塞尔斯证明了不存在三个相邻的正整数是完全幂1。1962年柯召证明了当q＞3时，不定方程x21yq无正整数解2。另外，《数学猜想集》的定理1.3.16“不定方程x21yq，q是奇素数，没有x＞0,y＞0的正整数解”。定理1.3.18“不定方程xp1yq，q是素数，p是奇素数，有正整数解的充分必要条件是：psq1qx1qsx1py1,py2,ypy1y2,(y1,y2)1x1,p†y1y2,qtp1py1pty1qx1,qx2,xqx1x2,(x1,x2)1y1,q†x1x2,1其中s,t,x1,x2,y1,y2均是正整数”。尽管许多大数学家付出了艰辛的劳动，取得了一定的成就；但是凯特兰猜想仍然是历史遗留下来的世界大难题，本文给出了该猜想成立的完全证明。2.2猜想的证明2.1猜想的部分情况1http://www.paper.edu.cn不定方程xp1yq，当p=q=2时，若x21y2有正整数解，显然不符合《数学猜想集》中的勾股数定理，x2mn,ym2n2,zm2n2，m＞n,(m,n)=11；所以x21y2无正整数解。对于p=2，q＞2时的情况已被柯召等数学家证明了。2.2猜想的完全证明假定：凯特兰猜想不成立，那么必存在（除了8=23，9=32以外的）正整数a，b，p，qpq满足a1b①成立；a,b∈N，N表示正整数集合；q是素数，p是奇素数。pq根据假定得（a,b）=1，且a1；否则，a1b不成立。1sq1qsp1p由《数学猜想集》的定理1.3.18得:a1pb1,b1qa1；tspqaqa1a2,bpb1b2，p|b,得（p,a）=1否则a1b不成立；而且得a10(modp)，a1(modp)；由此推得ap1(modp)因为bq11b1bq2bq3bq4b1=b21bq3bq5bq7b21所以，bq11能被b21整除;令bq11t（b21）,则(t,b)=1,否则bq11t（b21）不成立；由bqbtb（b21）,ap1bq得p33pa1tbb（1t）,t∈N;即tbb（1t）(a1)=0;因为必存在整数c,满足b+c=a,c∈Z，（b，c）=1;pqpq所以，由a1b得（bc）1b（;c，p）1，因为是奇素数，二项式的系数k（……-）都可以被整除,见《代数数理pCpk=1,2,3p1p论讲义》47页3，又因为p|b,由二项式定理将（bc）p1bq展开后可知p1cp10(modp)，cp10(modb)；由费马定理4c10(modp)，因为（c，p）1，所以，（cp1，p）1，c10(modp)，c1pl，l∈Z(整数集合);由定理1.3.18:可知b=qh+1,h∈Z;所以，由（bc）p1bq得pq（qh1c）1（qh1）;由二项式定理展开可知（c1）p0(modq),所以，2http://www.paper.edu.cnc10(modq),c1qm，m∈Z;由plqm得l=nq,m=rp;所以，npqrpq，nr,n,r∈Z,cnpq1;由tb3b（1t）(ap1)0,b+c=a,得tb3b（1t）（[bnqp1）p1]0；由二项式定理将[b(nqp1)]p1展开后，根据“任意整系数方程的整根必为常数项的约数”的定理（见《数学手册》91页5）可知，方程tb3b（1t）（[bnqp1）p1