黎曼猜想证明作者：弯国强电子信箱：408073346@qq.com黎曼猜想是关于黎曼蔡塔函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼蔡塔函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼蔡塔函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为11-2、-4、-6等点的值）的实数部份是。即所有非平凡零点都应该位于直线+it（“临界22线”（criticalline））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。1859年五月，三十二岁的黎曼继德国数学家JohannDirichlet(1805-1859)之后成为了Gauss在Göttingen大学的继任者。同年的8月11日，他被选为了柏林科学院(BerlinAcademy)的通信院士(CorrespondingMember)。作为对这一崇高荣誉的回报，黎曼向柏林科学院提交了一篇论文——一篇只有短短八页的论文，标题是：论小于给定数值的素数个数。正是这篇论文将欧拉乘积公式所蕴涵的信息破译得淋漓尽致，也正是这篇论文将黎曼蔡塔函数ζ(s)的零点分布与素数的分布联系在了一起。这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰，并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。欧拉乘积公式我们知道，早在古希腊时期，欧几里得就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。随着数论研究的深入，人们很自然地对素数在自然数域上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。1737年，著名瑞士数学家欧拉(1707-1783)在俄国圣彼得堡科学院(St.PetersburgAcademy)发表了一个极为重要的公式，为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。这个公式就是欧拉乘积公式，即：−1∞⎛⎞1n−s=−1∑∏⎜⎟sn=1p⎝⎠p这个公式左边的求和对所有的自然数进行，右边的连乘积则对所有的素数进行。事实上，这个公式有一个不太严谨，但是却很好理解的简单推导方法。证明：令∞11111ζ()s==++++1++∑nnssss234sn=11在上式端同乘可以得到2s11111ζ()s=+++++2246ssss()2ns两式相减可以得到-1-⎛⎞1111⎜⎟11−=++++ssssζ()s⎝⎠2357⎛⎞1同理在等式两边同乘，可以得到⎜⎟1−s⎝⎠3⎛⎞⎛⎞11111⎜⎟⎜⎟11−−ssζ()s=++++1sss⎝⎠⎝⎠235711依次类推我们可以得到以下等式⎛⎞⎛⎞11⎛⎞11⎜⎟⎜⎟11−−ss⎜⎟1−sζ()s=++1s⎝⎠⎝⎠23⎝⎠pp⎛⎞⎛⎞11⎛⎞1当时，p→∞⎜⎟⎜⎟11−−ss⎜⎟1−sζ()s=1⎝⎠⎝⎠23⎝⎠p−1⎛⎞1⎛⎞1即：11−=ζs，故ζs=−1∏⎜⎟s()()∏⎜⎟sp⎝⎠pp⎝⎠p−1∞⎛⎞1所以n−s=−1。∑∏⎜⎟sn=1p⎝⎠p∞定理：（欧拉乘积公式）设满足，且，则：f(n)f()()()nn12=fn1fn2∑fn()<∞n=1∞∑fn()=++∏[1fp()fp(23)+fp()]n=1p∞证明：由于∑fn()<∞，因此级数1()()()++fpfp23+fp绝对收敛。考虑n=1连乘积中p<N的部分(有限项)，由于级数绝对收敛，乘积又只有有限项，因此可以使用与普通有限求和及乘积一样的结合律及分配律。利用f(n)的乘积性质可得：[1++f(pfpfp)(23)+()]=fn()∏∑npn<其中右端求和对所有只含N以下素数因子的自然数进行(每个这样的自然数只在求和中出现一次，因为自然数的素数分解是唯一的)。由于所有本身在N以下的自然数显然都只含N以下的素数因子，因此f()nfnRN=+()()，其中R(N)为对所有大∑∑nnN<于等于N但只含N以下素数因子的自然数求和的结果。由此我们得到：[1++f(pfpfp)(23)+()]=fn()=fnRN()+()∏∑nnN∑<pn<要使广义欧拉乘积公式成立，只需证明limRN()=0即可。后者是显然的，因为n→∞-2-∞R()N≤f()n，而fn()<∞表明limfn()=0，从而limRN()=0∑nN≥∑n→∞∑nN≥n→∞n=1由于f(n)满足f()()()nn12=fn1fn2，所以23231++fp()fp()+fp()=+++1fp()[()][()]fpfp等号右边是一个收敛