第2讲导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．【复习指导】本讲复习时，应理顺导数与函数的关系，理解导数的意义，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用，重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单调区间．基础梳理1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．双基自测1．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()．A．－9B．－3C．9D．15解析由已知y′＝3x2，则y′|x＝1＝3切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9.答案C2．(2012·烟台模拟)函数f(x)＝x2－2lnx的递减区间是()．A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1)，(0,1)D．[－1,0)，(0,1]解析函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝2eq\f(x＋1x－1,x)由f′(x)≤0，解得0＜x≤1.答案A3．(2012·长沙一中月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为()．A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(3)解析由已知y′＝2x－eq\f(1,x)，令2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1.曲线y＝x2－lnx在x＝1处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0.两直线x－y＝0，x－y－2＝0之间的距离为d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).答案B4．(人教A版教材习题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对水面的高度(单位：m)是t1(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，高台跳水运动员在t＝1s时的瞬时速度为________．答案－3.3m/s5．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递增区间是________．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，由f′(x)＞0解得x＜0，或x＞2.答案(－∞，0)，(2，＋∞)考向一求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[审题视点]由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解(1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又f(2)＝－2∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5则切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切线过(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)点，则xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2，或x0＝1，因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.