第八讲导数及其应用A组一、选择题1．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（）A．B．C．D．答案C解析：设，则，∵，∴，∴，∴在定义域上单调递增，∵，∴，又∵，∴，∴，∴不等式的解集为故选：C.2．设函数，其中，若仅有一个整数，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．答案D.解析：，由题意得，的单调性为先递减后递增，故，即在上单调递减，在上单调递增，又∵，，∴只需，即实数的取值范围是，故选D.3．（2017年高考全国3卷文）已知函数有唯一零点，则a=A.B.C.D.1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.4.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．答案A解析:因,故切线的斜率,切线方程，令得；令得，故围成的三角形的面积为，应选A。5.曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．答案A解析：，，，曲线在点处的切线方程是，故选A.二、填空题6．已知函数的导函数的图象关于原点对称，则。答案解析：依题意关于原点对称，时为奇函数，符合题意。7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是______．答案解析：，由题意在上有两个根，设，若，则在为增函数，最多只能有一解，不合题意，故，当或者时，，，当时，，时，，因此，由题意，所以．三、解答题8．已知函数其中.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.解析：（1）当时，，，，所以切线方程为.（2）的定义域：，，令，，当时，令，得，令，得，的增区间为，的减区间为.当时，恒成立，在上单调递增，当时，，或；，，所以的增区间为，，的减区间为.当时，，或，，，所以的增区间为，，的减区间为.（3）当时，零点的个数为.9．设函数（其中为自然对数的底数，且），曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意，与有且只有两个交点，求的取值范围．解析：（Ⅰ）由，得，由题意得，∵，∴；（Ⅱ）令，则任意，与有且只有两个交点，等价于函数在有且只有两个零点，由，得，①当时，由得，由得，此时在上单调递减，在上单调递增，∵，，（或当时，亦可），∴要使得在上有且只有两个零点，则只需，即，②当时，由得或，由得，此时在上单调递减，在和上单调递增．此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意，③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意，综上所述，的取值范围为．10．已知，函数，.（1）求的极小值；（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.解析：（1）由题意，，，所以时，；当时，.所以在上是减函数，在上是增函数，故.（2）因为，所以，由于在内为单调递增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是.（3）构造函数，当时，由得，，所以在上不存在一个，使得.当时，.因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是.另外：（3）当时，，当时，由，得.令，则，所以在上递减，.综上，要在上存在一个，使得，必须且只需.11．对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调函数；②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．对于函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．解析：（1）时，，则，∴函数在处的切线方程为，即．（2），列表如下：0减增极大值减设函数存在“区间”是（i）当时，由上表可知，两式相减得，即，所以，代入，得，欲使此关于的方程组在时有解，需使与的图象有两个交点，在是减函数，在是增函数，且，所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．（ii）当时，由上表可知，，即，设，当时，，为增函数，当时，，为减函数，欲使此关于的方程有两解，需使与在有两个交点，所以有，解得．所以此时满足存在“区间”的的取值范围是．（iii）当时，由上表可知，，两式相减得，，此式不可能成立，所以此时不存在“区间”．综上所述，函数存在“区间”的的取值范围是．B组选择题1．已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A．2B．3C．D．答案D解析：因,即,故题设,所以,由于