中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn第24卷第1期大连铁道学院学报VoI．24No．12003年3月J0URNALOFDALIANRAILWAYINSTITUTEMat．2oO3文章编号：1000-1670(2003)01-0020-04基于微分几何法的机器人最优轨迹规划张连东，葛研军(大连铁道学院机械工程系，辽宁大连116028)摘要：将二自由度机器人的轨迹弧长指标视为黎曼度量，在黎曼空间内进行机器人的最佳轨迹规划．基于微分几何的方法，求出了具有此种黎曼度量的黎曼曲面上的测地线作为机器人的最佳轨迹，并进行了计算机轨迹仿真，验证了轨迹规划结果的正确性．关键词：微分几何；测地线；轨迹规划中图分类号：TP24文献标识码：A现行的机器人轨迹规划方法I。J是在给定若干路径点后，通过运动学逆解转换成关节空间矢量，对于每一段路径，各关节在相同的时间内根据插值函数独立运动到该段路径终点，较少顾及关节之间的耦合效应．在进行机器人的轨迹规划时，我们希望所得出的轨迹与空间固定坐标系的选取无关，并且该轨迹还能对机器人的某项指标进行优化．MflosZefran等【J利用黎曼几何中李群的方法研究了刚体在三维空间的轨迹规划．Parkt将黎曼度量的概念用于机器人机构的设计．现代微分几何中黎曼度量和测地线是与坐标系无关的概念，而测地线又是在给定黎曼度量下两点之间距离最短的必要条件．因此，本文应用测地线来进行机器人的轨迹规划．1测地线的概念测地线是平面上的直线在曲面上的推广，曲面上连接两点之间的最短曲线必是测地线．如图l所示，一个矩形经过等距变换后，成为一个圆柱面．这样，平面上的直线就变成圆柱面上的螺旋线，该螺旋线就是圆柱面上的测地线．又如图2所示的球面，其上的大圆就是测地线．测地线有许多特殊的几何性质，其中对轨迹规划有重要作用的有图1圆柱面测地线图2球面测地线如下两点：①曲面上连接两点之间的最短曲线是测地线；②测地线的切向量(速度)在平行移动下保持不变，因而沿测地线方向加速度为零，运动平稳．2黎曼度量的概念以图2所示的球面为例．其在三维欧氏空间内的方程为：收稿日期：2002．09．10基金项目：国家自然科学基金资助项目(59975013)；辽宁省基金重大项目(2001101005)作者简介：张连东(1971一)，男，讲师，博士．转载中国科技论文在线第1期张连东等：基于微分几何法的机器人最优轨迹规划http://www.paper.edu.cn21球面上弧长微分的平方为：ds2=dx++dz2=a2dO]+a2cos202d(2)若将上式改写为：、)(dO1)／cos20~0、此时，可以将球面看作以-，为变量的二维抽象黎曼曲面，该曲面以弧长为黎曼度量，以0‘／为度量系数矩阵，因此，可以将此球面看作一个二维黎曼空间，它与坐标系的选取无关，即脱离于原来的三维欧口氏空口间口而独立存在．曲面上的所有内蕴几何性质都由黎曼度量决定，如弧长、高斯曲率、测地线等．在球面(黎曼空间)上，欧氏空间中向量的普通平移是没有意义的，因为球面(黎曼空间)上不同点处有不同的切空间(切标架)，一个按普通平移而来的向量，并不会落在该点的切空间内，因此也就不是球面cl；上的向量．、3给定黎曼度量的黎曼曲面上的测地线l4I给定黎曼度量的黎曼曲面上测地线的方程为：罟=0(4)上式中第二项采用了爱因斯坦和式约定，即该项表示对指标k和-『求和．其中，c每+舞一每称为克里斯托弗符号．为对应度量系数矩阵的各元素．为度量系数矩阵的逆矩阵所对应的各元素．4以测地线作为机器人最优轨迹由于测地线具有很好的几何性质，本文考虑将此性质应用到机器人的轨迹规划中，以机器人的末端执行器的轨迹弧长为指标进行机器人的轨迹规划，求出机器人所走轨迹最短的必要条件(测地线)．解微分方程(4)，即得到以测地线为机器人轨迹规划最佳轨迹时的机器人各关节的位移和速度．5算例5．1机器人的运动学正解本文应用微分几何中活动标架【^】的方法推导机器人的运动学正解．以二自由度机器人为例，如图3．第一个关节上的活动标架为：reI(11=七{”=‰(6)L”----~t(O01第二个关节上的活动标架为：图3=自由度机器人示意图中国科技论文在线22大连铁道学院学报http://www.paper.edu.cn第24卷rP’=oosocl2e~1)--sinal2Pl){=【)(7)l=PP×=oosocl2et(oo+sin~l2Pr2=f1)+d2elO)=lIeto)+d2(cos~l2e~1)--sinal2PI))(8),r