第页共NUMPAGES9页数列不等式放缩问题的探究一、直接放缩1、放大或缩小“因式”例1.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（1）求数列的通项公式；（2）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解：（Ⅰ）当时，又数列成等比数列，其首项，公比是…（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（舍去项直接放大）又当当例2.已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）证明：解：（1），，故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（3）设，则例3.已知求证：证明：例4.已知数列满足求证：证明本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明2、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例5.已知an=n，求证：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．证明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.3、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例6.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m证明：(1)对于1＜i≤m，且A=m·…·(m－i+1)，，由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，所以(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，由(1)知miA＞niA(1＜i≤m＜n，而C=∴miCin＞niCim(1＜m＜n∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.二、添、减项放缩例7.设，求证.简析观察的结构，注意到，展开得，即，例8.设数列满足（1）证明对一切正整数成立；（2）令，判定与的大小，并说明理由.证明：则例9.已知数列的前项和满足（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有.简析（Ⅰ）略，（Ⅱ）；（Ⅲ）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时（减项放缩），于是=1\*GB3①当且为偶数时=2\*GB3②当且为奇数时（添项放缩）由=1\*GB3①知由=1\*GB3①=2\*GB3②得证。三、部分项放缩1、固定一部分项，放缩另外的项例10.数列的通项公式，求证：它的前n项的和。证明：例11.已知数列满足，（）。（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和，求证：对。解：（Ⅰ）∵，∴，又∵，∴数列是首项为3，公比为-2的等比数列，=，即。………………………………4分（Ⅲ）∵=，∴，当n≥3时，===,……………12分又∵，∴对。……………………………13分例12.求证：.证明：2、固定部分因子，放缩例13.设求证：解析又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是例14.设（且），g(x)是f(x)的反函数.当0＜a≤EQ\f(1,2)时，试比较与4的大小，并说明理由.解：设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4当n≥2时设k≥2,k∈N*时，则f(k)＝＝1＋所以1＜f(k)≤1＋从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4综上所述，总有|－n|＜4四、分组放缩例15.求证:。解析:例16.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对