专题26--椭圆中定值和最值问题（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）专题26--椭圆中定值和最值问题一、椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过定点问题一般不会出现，故椭圆中的定值问题主要包括以下几个方面：1．与椭圆有关的直线过定点(1)y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线的方程；(2)(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程．2．与椭圆有关的圆过定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0表示的是过直线A1x＋B1y＋C1＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆的方程．3．与椭圆有关的参数的定值问题二、椭圆中的最值问题1．参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如k，a，b，c，(x，y)的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解．2．长度和面积的最值由于直线或椭圆上的点运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数(如k或(x，y))的函数，运用函数或基本不等式求最值．要点热点探究►探究点一与椭圆有关的定值问题在椭圆中出现的定值问题中，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点的问题．例1已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．【解答】(1)当直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得：5x2＋16x＋12＝0，解得x1＝－2，x2＝－eq\f(6,5)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(4,5))).(2)设直线AM的斜率为k，则AM：y＝k(x＋2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1，))化简得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.因为此方程有一根为－2，所以xM＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，同理可得xN＝eq\f(2k2－8,k2＋4).由(1)知若存在定点，则此点必为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，0)).因为kMP＝eq\f(yM,xM＋\f(6,5))＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－8k2,1＋4k2)＋2)),\f(2－8k2,1＋4k2)＋\f(6,5))＝eq\f(5k,4－4k2)，同理可计算得kPN＝eq\f(5k,4－4k2).所以kMP＝kPN，M、P、N三点共线，所以直线MN过x轴上的一个定点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，0)).例2椭圆的两焦点坐标分别为F1(－eq\r(3)，0)和F2(eq\r(3)，0)，且椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2))).(1)求椭圆方程；(2)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，0))作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．【解答】(1)由题意，即可得到椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设直线MN的方程为：x＝ky－eq\f(6,5)，联立直线MN和椭圆的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky－\f(6,5)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得(k2＋4)y2－eq\f(12,5)ky－eq\f(64,25)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(12k,5k2＋4)，y1y2＝－eq\f(64,25k2＋4)，又A(－2,0)，则eq\o(AM,\s\up10(→))·eq\o(AN,\s\up10(→))＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋eq\f(4,5)k(y1＋y2)＋eq\f(16,25)＝－eq