PAGE-11-北京市西城区（北区）2011—2012学年度第二学期学业测试高二数学（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数等于（）A.B.C.D.2.甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立.那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是（）A.B.C.D.3.函数的图象在处的切线方程是（）A.B.C.D.4.用组成没有重复数字的四位数，其中奇数有（）A.个B.个C.个D.个5.如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A.B.C.D.6.已知函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以比2获胜的概率为（）A.B.C.D.8.设函数的定义域为R，如果存在函数为常数），使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.已知对于任意，是函数的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.在的展开式中，的系数等于________。（用数字作答）10.已知某随机变量X的分布列如下（）：X123P则随机变量X的数学期望=_______，方差=____________.11.设函数，，则的最大值为____________，最小值为___________.12.若4名学生和3名教师站在一排照相，则其中恰好有2名教师相邻的站法有_______种.（用数字作答）13.已知函数在区间[－2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是_________.14.如图，设是抛物线上一点，且在第一象限.过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。给出下列三个结论：①；②数列为单调递减数列；③对于，，使得.其中所有正确结论的序号为__________。三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在数列中，，，。（Ⅰ）计算，，的值；（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16.（本小题满分13分）甲同学在军训中，练习射击项目，他射击命中目标的概率是，假设每次射击是否命中相互之间没有影响.（Ⅰ）在3次射击中，求甲至少有1次命中目标的概率；（Ⅱ）在射击中，若甲命中目标，则停止射击，否则继续射击，直至命中目标，但射击次数最多不超过3次，求甲射击次数的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）设，函数的导函数为.（Ⅰ）求的值，并比较它们的大小；（Ⅱ）求函数的极值.18.（本小题满分13分）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被取出的可能性都相等.（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字分别为1，2，3的概率；（Ⅱ）求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率；（Ⅲ）用X表示取出的3个小球上的最大数字，求的值.19.（本小题满分14分）请先阅读：（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；（Ⅱ）当整数时，求的值；（Ⅲ）当整数时，证明：.20.（本小题满分14分）设函数，其中。（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立。【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.D；2.A；3.C；4.A；5.B；6.B；7.C；8.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.40；10.；11.；12.2880；13.；14.①、②、③.注：第10，11题第一个空2分，第二个空3分；第14题多选、少选均不得分。三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得，3分（Ⅱ）解：由，猜想5分以下用数学归纳法证明：对任何的。证明：①当时，由已知，左边，右边，等式成立。7分②假设当时，成立，则时，所以当时，猜想也成立。12分根据①和②，可知猜想对于任何都成立。13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“在3次射击中，甲至少有1次命中目标”为事件A。1分则表示事件“在3次射击中，甲没有命中目标。”