指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y?ax，y?logax在a?1及0?a?1两种不同情况。1、指数函数：定义：函数y?axa?0且a?1叫指数函数。定义域为R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数y?ax中的a必须a?0且a?1。因为若a?0时，y???4?，当x?x??1时，函数4值不存在。a?0，y?0x，当x?0，函数值不存在。a?1时，y?1x对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y?1x的反函数不存在，因为要求函数y?ax中的a?0且a?1。?1?1、对三个指数函数y?2，y???，y?10x?2?xx的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征（1）图象都位于x轴上方；（2）图象都经过点（0，1）；（3）y?2，y?10在第一象限内的纵坐xx函数性质（1）x取任何实数值时，都有a?0；x（2）无论a取任何正数，x?0时，y?1；?x?0，则ax?1?（3）当a?1时，?x?标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，?x?0，则a?1x?1??x?0，则ax?1?y???的图象正好相反；当0?a?1时，??2?x??x?0，则a?1（4）y?2，y?10的图象自左到右逐渐（4）当a?1时，y?a是增函数，xxx?1?上升，y???的图象逐渐下降。?2?x当0?a?1时，y?a是减函数。x对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y?2和y?10相交于(0，1)，xx当x?0时，y?10x的图象在y?2x的图象的上方，当x?0，刚好相反，故有10?222及10?2?2?2。x?1?②y?2与y???的图象关于y轴对称。?2?x?1?③通过y?2，y?10，y???三个函数图象，可以画出任意一个函数y?ax?2?xxx（a?0且a?1）的示意图，如y?3x的图象，一定位于y?2x和y?10x两个图象的中间，且过点(0，1)，从而y???也由关于y轴的对称性，可得y???的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果ab?N(a?0且a?1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b?logaN（a是底数，N是真数，logaN是对数式。）由于N?a?0故logaN中N必须大于0。b?1??3?x?1??3?x当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求log0.32??52???4??52???x，?4?分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log0.32?再改写为指数式就比较好办。解：设log0.32??52???x?4?则0.32x?x524?12?8??8?即??????25??25?∴x??12?52?1即log0.32????2?4?评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求3?5中的x，化为对数式x?log35即成。x（2）对数恒等式：由a?Nb(1)b?logaN(2)logaN将（2）代入（1）得a?N运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。计算：?3??log123解：原式?31?log1223?1?????3?log132?2。（3）对数的性质：①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1。（4）对数的运算法则：①loga?MN??logaM?logaN②loga③loga④logaaa?M，N?R?M?logM?logN?M，N?R?N?N??nlogN?N?R?1N?logN?N?R?n??n?an?a3、对数函数：定义：指数函数y?ax(a?0且a?1)的反函数y?logaxx?(0,??)叫做对数函数。1、对三个对数函数y?log2x，y?log1x，2y?lgx的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征（1）图象都位于y轴右侧；（2）图象都过点（1，0）；+函数性质（1）定义域：R，值或：R；（2）x?1时，y?0。即loga1?0；（3）y?log2x，y?lgx当x?1时，图象（3）当a?1时，若x?1，则y?0，若在x轴上方，当0?x?0时，图象在x轴下0?x?1，则y?0；方，y?