会计学上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立(jiànlì)了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，建立(jiànlì)了操作空间与关节空间的映射关系。本章将在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系。3.1机器人速度(sùdù)雅可比与速度(sùdù)分析也可简写(jiǎnxiě)成：二自由度平面关节型机器人端点(duāndiǎn)位置X、Y与关节θ1、θ2的关系为2R机器人的速度(sùdù)雅可比矩阵为：n自由度机器人J阵关节变量用广义(guǎngyì)关节变量q表示：q=[q1,q2,…,qn]T当关节为转动关节时qi=θi；当关节为移动关节时qi=di关节空间的微小运动：dq=[dq1，dq2,…,dqn]T机器人末端在操作空间的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q)，是一个6维列矢量。J（q）：反映了关节(guānjié)空间微小运动dq与手部作业空间微小运动dX之间的关系。二、机器人速度分析(fēnxī)对dX=Jdθ两边各除以dt得反之(fǎnzhī)，假如给定工业机器人手部速度，可解出相应的关节速度，即：例1如图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s的速度移动(yídòng)，杆长l1=l2=0.5m。求当θ1=30°，θ2=60°时的关节速度。解由推导知，二自由度机械手速度雅可比为逆雅可比为三、雅可比矩阵(jǔzhèn)的奇异性当雅可比不是满秩矩阵时，可能出现奇异解，机器人的奇异形位，相应操作空间的点为奇异点。机器人的奇异形位分为两类：(1)边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时，手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，逆雅可比奇异。相应的机器人形位叫做边界奇异形位。(2)内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动相互抵消(dǐxiāo)，不产生操作运动。相应的机器人形位叫做内部奇异形位。当机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度，手部也不可能实现移动。当l1l2s2＝0时无解，机器人逆速度雅可比J-1奇异。因l10，l20，所以，在2＝0或2＝180时，机器人处于奇异形位。机器人二臂完全伸直，或完全折回，两杆重合。在奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上，该瞬时手部只能沿着一个(yīɡè)方向(与臂垂直的方向)运动，退化了一个(yīɡè)自由度。如果希望机器人手部在空间按规定的速度进行作业，雅可比是满秩矩阵，可以计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。对空间机器人，J的行数为6。二维平面机器人，J的行数为3，列数则为机械手含有的关节数目。平面运动机器人手的广义位置向量[x,y,φ]T容易确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，可直接采用微分法求J。对于空间机器人,根据机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量[x,y,z]T的显式方程，但找不到(bùdào)方位向量的一般表达式。空间机器人雅可比矩阵J确定：不能用直接微分法，采用构造法。四、雅可比矩阵(jǔzhèn)的构造法把机器人关节速度向量定义为：式中，为连杆(liánꞬǎn)相对于的角速度或线速度。手爪在基坐标系中的广义速度向量为：与之间的线性映射关系称为雅可比矩阵J。矢量(shǐliàng)运算雅可比各列的计算公式：转动(zhuàndòng)关节i：/（2）移动(yídòng)关节i：中的元素/全转动(zhuàndòng)关节机器人计算公式PUMA560雅可比各列的计算(jìsuàn)实例nx=c23（c4c5c6s4s6）s23s5c6ny=s4c5c6c4s6nz=s23[c4c5c6s4s6]c23s5c6ox=c23[c4c5c6+s4s6]+s23s5c6oy=s4c5c6c4s6oz=s23[c4c5c6+s6s6]+c23s5s6ax=c23c5s5s23c5ay=s4s5az=s23c4s5–c23c5px=a2c2+a3c23d4s23py=d3pz=a3c23a2s2d4s233.2机器人静力分析机器人在作业过程中，当末端操作器与环境接触时，各关节产生(chǎnshēng)相应的作用力。机器人各关节的驱动装置提供关节力矩，通过连杆传递到手部，克服外界作用力。本节讨论操作臂在静力平衡关系。两类静力学问题：(1)已知外界环境对工业机器人手部作用力F