本章小结小结本章学习重难点【本章重点】利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【本章难点】对(a≥0)是一个非负数的理解，对等式()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0)的理解及应用，对二次根式乘、除法公式的条件的正确理解．小结3学法指导1．注意观察、分析、归纳、探究等能力的培养，在本章知识的呈现方式上，重视体现“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式．2．注重数学知识与现实生活的联系．无论是学习二次根式的概念，还是学习二次根式的性质和运算，都尽可能把所学的知识与现实生活联系，重视运用所学知识解决实际问题能力的培养．3．充分利用图形，使代数和几何有机结合．对于数与代数的内容，应重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助理解、解决有关代数问题是对数学的一种导向．4．运用类比思想．学习时注意回顾与类比，充分运用类比思想学习、理解算理和算法，提高运算能力．知识网络结构图概念二次根式:式子（a≥0）叫做二次根式最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式性质（1）（a≥0，b≥0）（2）（a≥0，b≥0）（3）()2=a（a≥0）（4）=|a|=二次根式专题总结及应用一、知识性专题专题1二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1当x取何值时，的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.解：∵∴，∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.专题2二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2下列计算正确的是（）分析根据具体选项，应先进行化简，再计算.A选项中，B选若可化为，C选项逆用平方差公式可求得，而D选项应将分子、分母都乘，得.故选A.例3计算的结果是（）分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为故选D.例4书知.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.例5化简【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质图21-8例6已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简解：由a，b，c在数轴上的位置可知：【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.专题2二次根式的化简及混合运算规律·方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.例8已知分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入.专题3利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9估计×+的运算结果应在（）A.6到7之间B.7到8之间C.8到9之间D.9到10之间分析本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即.故选C.已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值.解：∵9＜13＜16，∴＜＜，即3＜＜4∴的整数部分为3，即m=3，∴的小数部分为∴二、规律方法专题专题4配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用化简.例11化简规律·方法一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则，于是，从而使得到化简.例12若a，b为实数，且b=，试求的值.分析本题中根据b=可以求出a，b，对的被开方数进行配方、化简.解：由二次根式的性质得当【解题策略】对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意专题5换元法【专题解读】通过换元将根式