学号姓名班级高等数学（下）单元测试（多元函数）基础知识检测(30%)填空()设向量，则与同方向的单位向量为；若与坐标轴轴、轴、轴所成的角分别为，则向量=.设平面的点法式方程为,则该平面一定经过点;该平面的一个法向量为向量函数的参数方程形式为图形的特点是球面方程和的交线在面上的投影为;;;若,则=设,则经过的等位线方程为设向量函数是空间质点在时刻的位置向量,则在时刻的速率为方向为(用单位向量表示)二元函数,则在点处的梯度为;椭圆方程可以看成是的一条等位线,那么椭圆上经过点的切线与该点梯度的关系为;切线方程为简答()在平面中表示什么?在空间中表示什么图形?马鞍面的鞍点在哪里?在鞍点处有什么特点?二元函数在某点连续,则在该点处的偏导数一定存在吗?若不一定,请举出反例!偏导数的几何意义是什么?二元函数可微的条件是什么?若可微,则其全微分的表达式是怎样的?全微分的几何意义是什么?简述二元函数在点处的梯度向量与该点附近函数值变化的关系.写出在求二元函数极值过程中判断极值点存在性的黑塞判别式.计算与证明(30%)(隐函数求导)已知隐函数的求导公式为:,利用这个公式计算下题中在给定点的值;(求切平面方程)若已知平面经过点,且平面的一个法向量为,则平面方程可以用点法式如下描述,利用这个公式计算如下的问题.设三元函数,令,则表示所有函数值为的点的集合,一般情况下这些点在空间中表示一曲面,我们称之为等位面.若已知三元函数在点的梯度向量是垂直于经过点的等位面的(即垂直于经过该点的切平面).写出经过点的的切平面公式.若曲面方程为,求曲面上经过点的切平面方程.(空间曲线上某点的切线方程)设空间曲线的参数方程为,则当时,对应的点为,则曲线上经过点的切线方程为.利用该公式计算下题中曲线经过给定点的切线的方程空间中曲线的参数方程为,点(多元复合函数偏导的链式法则)画树状图计算下题设,计算(方向导数)方向导数是一个点积,二元可微函数在点处的沿方向(单位向量)的导数是等于该点的梯度向量与方向向量的点积,即,根据公式计算下面下题中的方向导数:，，.应用拓展(40%)(计算机图形学中的透视)在计算机图形学和透视画法中,需要把空间中目视的物体表示成二维平面图像.假定视点置于图中所示的点,而我们要把点表示成平面上的一点.做法是从点引一条射线把投影到平面上.点将被描绘成点.对于作为图形学设计者而言,问题是从给出的和,求和..写出在和之间的向量方程.利用这个方程以表示和;研究从(1)中得到的在和的特性,并且观察当时发生的情况来检验和的公式.得到的结果是什么?(对改变的敏感度)计划计算一条直径大约为2米,长度为1千米的管道的内部容积,应对长度和直径哪一个测量更加细心?(热探测粒子的路径)热探测粒子具有这样的特性,它在平面内任何点的运动方向是温度增加最大的方向.如果在点的温度,求热探测粒子在点处路径的方程.(箱子尺寸的变化)假设长方形箱子的边长是随时间变化的,在考察的时刻,,,,.箱子在那个瞬间的体积和表面积的变化率是多少?箱子内部对角线的长度是增加还是减少?(最小二乘法与回归线)当我们试图用一条直线拟合数据点通常选择选择这样一条直线:从各点到直线的竖直方向距离的平方和取最小值,该直线称为回归线求题目中的4个点到拟合直线的距离的平方和;求使得最小;求回归线方程.