博弈论练习题第二组（2011年11月11日）1.求解以下博弈的所有纳什均衡（包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡）（1）参与人2LRU(2,6)(5,5)D(0,0)(6,2)参与人1用最优反应法，可以找出该博弈的纯策略纳什均衡（U，L）和（D，R）令参与人1选U的概率为p，选D的概率为（1-p），以等支付法计算：6p=5p+2（1-p），得p=2/3令参与人2选L的概率为q，选R的概率为（1-q），以等支付法计算：2q+5（1-q）=6（1-q），得q=1/3因此混合策略纳什均衡是（（U，D；2/3,1/3），（L,R；1/3，2/3））。（2）参与人2LRU(10,10)(0,1)D(1,0)(1,1)参与人1纯策略纳什均衡是（U，L），（D，R）混合策略纳什均衡是（（U，D；1/10,9/10），（L,R；1/10，9/10））(这意味着效率最高的点（10,10）在混合策略中被选择的概率非常的低)。2.求解以下博弈的所有纳什均衡。参与人2左右上(0，0)(4,-9)中(4,-6)(0,0)下（1，-1）（1，-1）参与人1对于参与人1而言，“下”这一策略是占劣策略，因此，它不可能成为任何纳什均衡中的一部分。（首先，“下”这一策略不可能在纯策略纳什均衡中出现，因为无论是（下，左）还是（下，右）都不可能是纯策略纳什均衡。其次，“下”这一策略也不可能是混合策略纳什均衡的一部分）。（实际上，只要任何一个纯策略被其他策略占优，则它就不可能是纳什均衡的一部分）。因此，首先剔除“下”这一策略。在精简后的博弈中，没有纯策略纳什均衡。可以计算它的混合策略纳什均衡，经计算可得，（（上，中；0.4,0.6），（左，右；0.5,0.5））是该博弈的混合策略均衡。假定两家企业A与B之间就做广告与不做广告展开博弈，它们的报酬矩阵如下：企业B做广告不做广告企业A做广告100，100300，0不做广告0，300200，2001、这是不是一个“囚犯的困境”？2、如果该对局只进行一次，其纳什均衡是什么？3.、如果博弈是重复的，但我们不考虑无限次的情形，假设只进行10次对局。再假定企业A采取的是“以牙还牙”的策略，并在第一次对局中不做广告，企业B也将采取“以牙还牙”的策略。对企业B，考虑两种不同的情况：在第一次做广告或第一次不做广告，分别计算这两种情况下企业B的累计利润，试问企业B将如何行动？1、是囚徒困境。虽然两人都不做广告都能获得较高的收益，但是两人为了各自的利益而不是整体的利益考虑时都会选择做广告。2、企业B做广告时，企业A做广告的收益100大于不做广告的收益0；企业B不做广告时，企业A做广告的收益300大于不做广告的收益，所以对于企业A做广告时它的严格优势策略，企业B同理，即无论对方选择什么策略，做广告都是对自己最好的策略。该博弈的纳什均衡结果是两企业都选择做广告，双方各获利100，局中人单独改变策略没有好处。3、假如B在第一次做广告，则B获利300A获利为0，企业A采取“以牙还牙”的策略在第二次对局中也做广告，则两者的获利各为100，因为企业A已经做广告此时企业B不能以降低利润为代价不做广告，所以企业B累计利润300+100*9=1200；企业B第一次不做广告，在理性人的假设下两者在今后会出现追求私利的现象，有限次数的重复博弈不能改变囚徒困境原来的均衡结果，企业B的累计利润可能为200+100*9=1100。