河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟第PAGE\*MERGEFORMAT5页§3.1.1柯西不等式(1)姓名☆学习目标：1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义;2.会证明二维柯西不等式及向量形式☻知识情景：1.定理1如果,那么.当且仅当时,等号成立.当时，由基本不等式：2.如果,那么，另一方面，有问题：☻新知建构：1.柯西不等式：若，则.当且仅当时,等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）当且仅当时,等号成立.证法20.（构造法）分析：而的结构特征那么，证：设，∵0恒成立.∴.得证.证法30.（向量法）设向量，，则，.∵，且，有.∴.得证.2.二维柯西不等式的变式：变式10.若，则或；变式20.若，则；变式30.若，则.几何意义:3.二维柯西不等式的应用：例4.例4.选修4-5练习§3.1.1柯西不等式(1)姓名.6、求函数的最大值？；7、已知，求的最小值.8、若，，求证：.9、已知，且，则的最小值.10、若>>，求证：.11、已知点及直线用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知求证：。13.13、解方程参考答案:例1例2例3例4练习1．A2、B3．34．5．6．分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：→推广：7．（凑配法）.8．分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：…9．要点：….→其它证法10、要点：11、设点是直线上的任意一点，则（1）点两点间的距离:（2）的最小值就是点到直线的距离，∵由（1）（2）得：即（3）当且仅当（3）式取等号即点到直线的距离公式即12.证明：由柯西不等式，得当且仅当时，上式取等号，于是。13.解：=由柯西不等式知即当上式取等号时有成立，即（无实根）或，即，经检验，原方程的根为