第27卷第4期赤峰学院学报（自然科学版）Vol.27No.42011年4月JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）Apr.2011柯西不等式证明及应用黄卫（南京晓庄学院，江苏南京211171）摘要：本文探讨了柯西不等式多种证明方法，通过一系列的例题，反映了柯西不等式在函数求最值及其在几何上（距离）的广泛应用.关键词：柯西不等式；证明；应用中图分类号：O17文献标识码：A文章编号：1673-260X（2011）04-0015-02柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分所以AB2即ABC2C2≥≥析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式证明2（利用二次型）应当称为Cauchy-Buniakowshy-Schwar不等式.正因为是后222220≤∑(aix+biy)=(∑ai)x+2(∑aibi)xy+(∑bi)y两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不即关于x、y的二次型非负定，那么等式应用到近乎完善的地步.2∑ai∑aibi在我国的一般高校教育中，微积分线性代数和概率论2≥0、∑aibi∑bi是最基本的数学基础课程.表面上看，这三门课存在很大差222即(∑aibi)≤∑aibi异，但与此同时它们却往往可以从不同的角度和方法对同证明3（数学归纳法）一事物作出证明及解释.著名的柯西不等式在不同领域中的222当n=1时，a1b1≥(a1b1)不等式显然成立证明方式充分说明了人们思维的多样性渗透性和完备性.2222222、设(a1+a2+…ak）（b1+b2+…+bk)≥(a1b1+a2b2…akbk)认识这一点可以使思维更活跃，也可以使我们的学习更富当n=k+1时有创造性.22222222=(a1+a2+…+ak+ak+1)(b1+b2+…+bk+bk+1)柯西不等式及其证明22222222221=（a1+a2+…+ak）（b1+b2+…+bn）+（a1+a2+…+ak）bk+1+1.1柯西不等式222222(b1+b2+…+bn)+ak+1+ak+1bk+1柯西不等式拥有多种形式，下面是其几种形式.22222222≥(a1b1+a2b2+…+akbk)+(a1+a2+…ak)bk+1+bk+1(b1+b2+…二维形式：(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2等号成立条件：ad=bc222≥+bk)+ak+1bk+1=Q222222而Q-(ab+ab+ab)2三角形式：姨a+b+姨c+d≥姨(a-c)+(b-d)等号成1122…k+1k+1222立条件：ad=bc(a1bk+1-ak+1b1)+(a2bk+1-ak+1b2)+…+(akbk+1-ak+1bk)≥0即n=k-1时，不等式成立向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=（a1，a2,…,an），β=（b1，b2，…，综上所述，得对对nN，不等式成立，故得证.bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈∈+R）.证明4（利用线性相关证明）222经过仔细探讨发现，为了严格而简洁地刻划出（a,a,,一般形式：(∑ai)（∑bi)≥(∑a·ibi)等号成立条件：a1：12…a）与（b,b,,b）具有什么关系时才成为柯西不等式中等号b1=a2：b2=an：bn或ai、bi均为零.n12…n成立的充要条件，我们从向量线性相关线性无关的概念出推广形式：（x1-y1-…）（x2-y2-…）…（xn-yn-…）、1.2下面给出柯西不等式的证明发，来叙述并证明这种特殊的柯西不等式.证明1（直接法）设Rn为向量空间.222若=（a,a,,a），=（b,b,,b）Rn设A=∑aiB=∑biC=∑ciζ12…nι12…n∈ABa2Bb2a2Bb2ab则(ab+ab++ab)2(a2+a2++a2)(b2+b2++b2)则+1=i+i=(i+i)2ii=21122…nn≤12…n12…nC2∑C2∑B∑C2B≥∑C成立.15--当且仅当向量ζ与η线性相关时，22|Ax0+By0+C|(x-x0)+(y-y0)≥姨222222222姨A+B(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn).x-xy-y证明当0=0时，等式成立，由垂线段最短可得AB（ⅰ）设线性相关，则存在不全为0的k1Rn,使ζ、η、∈|Ax+By+C|d=00kζ+lη=0姨A2+B2以上证明运用的背景均在二维平面内，由此可以考虑由此有=或=.（其中=-l.=-kR）ζληημζλkμl