柯西不等式的推广及应用李小霞指导老师：闫作茂（河西学院数学与应用数学专业2010届2班21号,甘肃张掖734000）摘要柯西不等式是数学中的重要不等式，柯西不等式的推广形式有很广泛的应用，许多不等式的证明问题都能够应用柯西不等式的推广形式轻而易举地得以解决.本文应用柯西不等式及其相关不等式，研究了一个矩阵形式的柯西不等式的推广形式和一个在欧式空间中的柯西不等式的表达形式.关键词柯西不等式;推广;矩阵表示;欧式空间;证明;应用中图分类号O122.3PromotionandapplicationoftheCauchyinequalityLiXiaoxiaInstructor:YanZuomao（N．O．21，Class2of2010．SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics，DepartmentofMathematics，HexiUniversity，Zhangye，Gansu，734000，China）AbstractTheCauchyinequalityisanimportantinequalityinmathematics,theCauchyinequalityintheformofaverywiderangeofapplications,manyofinequalitythattheproblemscanapplyCauchyinequalityformeasilyresolved,andinthispaper,itismainlyusedCauchyinequalityandrelatedinequalitiestostudytheformofamatrixformoftheCauchyinequalityandoneintheEuropeanSpaceoftheCauchyinequality.KeywordsCauchyinequality;promotion;matrix;Europeanspace;proof;application1引言及预备知识近几年，好多有关不等式的文章中谈到如文献[1]、文献[2]、文献[3]等，柯西不等式在研究中学数学中，从极值、解不等式、证明不等式、解决几何问题及柯西不等式的一些推广形式来展现不等式的妙用之处，本文中我们从矩阵及欧式空间的角度来探讨柯西不等式的推广和应用.引理1.1[5]设则.(1)式中等号当且仅当时成立..引理2.2[6]设为向量空间，若，,则.(2)即，当且仅当向量与线性相关时，(2)式取等号．2主要结论定理2.1设，且（其中），则(3)证明下面我们对用数学归纳法先证明当，时，有不等式(3).当时，即为柯西不等式，结论成立.假设当时，结论成立，即有.则当时，由引理1.1(1)式，我们有：.即当时结论成立.故对于一切自然数，当，时不等式(3)成立.将上述中不等式中的个正数排成行列矩阵：，容易验证不等式(3)仍成立.定理2.1即证.定理2.2设是维欧式空间,若,则，上式等号成立的充要条件是线性相关.证明由已知，欧式空间是有限空间,即,由引理1.2，我们不取的标准正交基，而取的任意一个基,设,,,则，同样有，，则有.注由，得到维欧式空间一般坐标形式的柯西不等式:.3应用例1设都是正数，且，求证;.证明构造矩阵，由定理2.1，得.两边同除以，即得：.例2设为正整数,求证:.证明由平均值不等式,有,构造矩阵,注意到矩阵的前列中,各列元素的次方幂适当调整其顺序后都是,从而,由定理2.1得:.两边同时开次方即得.例3已知是实数,满足试确定的最大值.解设向量组,由柯西不等式在欧式空间的推广形式可得:.由已知:,代入上式可得:.整理得:得由,柯西不等式等号成立,推出:线性相关.从而求出.取有.适合条件中等式,故的最大值为致谢感谢闫作茂老师对本文的精心指导.参考文献[1]吴厚荣.利用柯西不等式一个推广公式再解竞赛题[J].黑龙江科技信息报：94-136.[2]徐幼明.柯西不等式的推广及其应用[J].数学通讯,1996(12)：25-27.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].高等教育出版社，2006(6）.[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社：269-271.[5]湖南省数学会普及委员会.数学奥林匹克的理论方法与技巧[M].长沙：湖南教育出版社.[6]陈亚萍.柯西不等式证明与推广应用[J].黔南民族师专学报,1999(12):77-79.[7]杨涤尘.柯西不等式的推广及矩阵表示法的应用[J].湖南教