二、分形的数学研究高二（2）分形几何课题小组组长：林文成组员：姚潇华（记录员）薛文鸿（电脑操作员）黄昱霖（资料搜集整理）杨康炜（资料搜集整理）陈敏捷（资料搜集整理）指导老师：郑天宇、周灵、孙世健什么是分形几何？“分形几何”通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。所谓“自相似”，例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；例如高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。图2、图3将图1中两个矩形框区域放大后的图形。你会惊奇地发现：当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。他开创了一个全新的几何学的分支！分形几何向传统欧氏几何提出的挑战多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆……）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对象。可以说分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而分形的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域——有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。所以说，分形几何突破了传统欧氏几何的局限，开创了前所未有的研究领域。分形的艺术欣赏分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的新的表现。比如，分形图中的平衡，是一种动态的平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的平衡；分形图的和谐是一种数学上的和谐，每一个形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流动，毫无生硬之感；而最特别的是分形的对称，它既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和丰富的变换，它给我们一种纯真的追求野性的美感，一种未开化的，未驯养过的天然情趣。（图库）分形的数学探究（1）通过分形图的欣赏，体会分形的思想，初步认识分形；感悟数学与艺术在审美上的统一，提高审美情趣；认识事物在简单中孕育着复杂的辩证观点，发展辩证思维；体会计算机图形技术和迭代思想在分形研究中的重要作用。（2）认识康托尔三分集、科赫曲线与科赫雪花曲线、朱利亚集、曼德尔布罗特集、谢尔宾斯基垫片与地毯、门杰海绵、皮亚诺曲线等基本分形，掌握其构造方法，能能用《几何画板》作出生成它们的头几步图形，并对曲线的“生长”规律进行研究。科赫雪花曲线从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个和整体全等的图形.朱利亚集按照一定的数学原理在平面上构造的点集。朱利亚集具有异常美丽的形状,并且利用他可以模拟出山峰,云彩,湖泊等等自然景观,以下四个图形都是朱利亚集的图形。曼德尔布罗特集原始图形如下,从它出发,每个细部都可以演绎出美丽无比的梦幻般的仙境似的图形。我们的研究我们用课本学过的方法如如累积法、累加法等，对简单分形几何图形展开研究。1.曲线“生长”过程中的有哪些数量特征可以研究？边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等变化规律。2.应用的知识与方法：（1）公式法（适合于等差、等比数列）；（2）差项法；（2）观察、归纳、猜想、证明（数学归纳法）；经过n次三角形形状：2.自创分形并加以研究总结：在对分形的初步认识的基础上，我们进一步利用自己所学到的知识（如：数列.数学归纳法等）着重对谢尔斯基三角形进行探究，并得到了它的渐变规律等结论。在对已知分形的基础上，我们自己创造出了一个分形图形，并再次运用所学的知识探究了它“生长”的规律，其结果符合我们对分形的认识。这次成功既是我们研究的收获，也奠定了我们继续研究的信心。1.图片举例2.英国海岸线中的分形3结论结论开展研究性学习的目的之一就是寻求课本之外的知识来充实自己。因此我们离开书本，把目光移向周围的事物，这才发现原来分形就存在于我们身边，故我们探究了现实中最具价值的英国海岸线问题。结果着实令人满意。我们学会了利用分形知识来分析身边的事物，这样锻炼了我们的分析，语言，组织等能力，真是收益非浅。1.心得体会分形几何：http://www.cbe21.com/subject/m