第二章2.4正态分布A级基础巩固一、选择题1．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(C)A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115][解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974．由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.9974≈60人．故选C．2．(2018·呼和浩特二模)有10000人参加某次考试，其成绩X近似服从正态分布N(100,132)．P(61＜X＜139)＝0.997.则此次考试中成绩不低于139分的人数约为(C)A．10B．30C．15D．23[解析]∵X近似服从正态分布N(100,132)，P(61＜X＜139)＝0.997．∴P(X≥139)＝eq\f(1,2)(1－0.997)＝0.0015，∴此次考试中成绩不低于139分的人数约为10000×0.0015＝15．故选C．3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3[解析]由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又eq\f(1,\r(2π)σ2)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ2＝1.故选D．4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.0225)，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为(C)A．上、下午生产情况均为正常B．上、下午生产情况均为异常C．上午生产情况正常，下午生产情况异常D．上午生产情况异常，下午生产情况正常[解析]根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(D)A．10%B．20%C．30%D．40%[解析]由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－0.2)＝0.4，故选D．6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于(B)A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ)))D．2Φ(μ＋σ)[解析]设η＝eq\f(|ξ－μ|,σ)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．二、填空题7．正态变量的概率密度函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－32,2)，x∈R的图象关于直线__x＝3__对称，f(x)的最大值为__eq\f(1,\r(2π))__．8．(2018·凉山州模拟)已知离散型随机变量ξ服从正态分布N～(2,1)，且P(ξ＜3)＝0.968，则P(1＜ξ＜3)＝__0.936__．[解析]∵离散型随机变量ξ服从正态分布N～(2,1)，∴P(ξ≤1)＝P(ξ≥3)＝1－0.968＝0.032，∴P(1＜ξ＜3)＝1－P(ξ≤1)－P(ξ≥3)＝1－0.032－0.032＝0.936．故答案为0.936．9．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p．其