1.1一个简单例子证明存在两个无理数，使是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数，都有是无理数。那么就有一定是无理数，进而也是无理数，而是有理数，所以假设不成立而我们如果令，我们已知和都是无理数，此时是有理数，问题得证。上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。引用韦尔（H.Weyl）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。[3]1.3中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。《高中数学教学大纲》中就明确规定了学习数学不仅包括数学内容，数学语言，更重要是数学思想、方法。在高中数学解题过程里，我们常常会遇到无从下手、常规的方法不能快速、有效解决的问题，这时我们可以另辟蹊径，利用这种特殊的数学方法尝试解决问题——构造法。运用构造法解题常常是因为我们常规思维定式探求解题思路受阻，这时我们根据题设特点，用已知元素和关系式构造一个新的数学形式，如：函数、方程、图形等，这样可以绕过阻碍，得到解题的思路和方法。中学阶段应用构造法时所需要构造的新的数学形式很多，包括构造图形、构造方程、构造函数、构造数列、构造命题、构造向量类、构造特殊模型等。我们就上面七种构造形式来一一探究，熟悉构造法解题过程中运用的构造技巧，以及构造法解题的本质，对问题的化归。代数是数字和文字的组合，但是这并不代表代数和图形完全没有关系，对于一些代数的问题，我们如果能通过途径构造相应的图形，此时解题过程便十分直观、清晰。已知求证：.[4]因为所以，，证明：构造如图的直角三角形，根据定理，三角形两边之和大于第三边，所以，而，，所以综上所述，上面这个问题因为出现了形如的式子，所以我们想到构造一个直角三角形，如果题目中没有给出这么明显的唯一特征，我们能不能构造呢？正数，满足条件，求证：由求证的不等式，我们想到这是不是和面积有关，于是我们构造一个三角形，并且题干中证明：构造一个如图的等边三角形，其中各个边角的关系如下，考虑图形中的面积关系，有，又，，，，带入，得++<,整理得：.[5]上面得解题方法中利用了三角形的面积公式，不等式两边的都是，所以约掉，最后化简到的形式。考虑到面积更为简单的形式可以是长方形的面积，此时我们可以构造一个矩形，又，我们不妨构造一个如图1.3的正方形.方法二，证明：构造一个如图所示的正方形PQRT，其中各边关系如下，，又正方形有如下关系，，带入数据得。虽然数与形是数学中不同的领域，但是这两个领域不是相互独立的。解题中亦是如此，如果在数学问题中我们给一些代数关系赋予几何意义，那么问题往往变得形象、直观。当然在利用图形直观分析解决问题时，我们构造的图形也有简单复杂之分，所以构造图形时我们要注意一点，构造几何图形要有正确的思考方法，不能盲目去套用图形。从上面两个问题中我们可以简单总结一下思考原则：首先寻找题目中的条件与所求结论中的几何含义，然后考虑可以借用哪些有关的几何概念和性质，最后根据这些选择一个最好的几何图形。方程作为数学解题中一个很重要的工具，是因为方程能把未知和已知联系在一起。遇到一些无从下手的问题时，构造方程可以把条件和结论之间联系起来，使问题中隐藏的关系显露出来，从而快速找到问题的突破口，进而解决问题。例2.1若，且，求证：题干中给出的是的具体值，要求的结论是的取值范围，我们尝试由出发，有，此时出现了要求的，但是多出来了，我们不妨利用方程，把解出来,这是和显然是方程的两个根，于是题目隐藏的关系暴露出来，解题思路也由此而生。证明：由，有，显然，设，则构造