..数学活动课程讲座..构造法在数学竞赛中的应用朱华伟(广州大学计算机科学与教育软件学院,510006)中图分类号:O141.4....文献标识码:A....文章编号:1005-6416(2010)04-0002-05....收稿日期:2010-01-19....(本讲适合初中)解答数学问题时,常规的思考方法是由已知到结论的顺向思考,或由结论到已知的逆向思考.但无论是顺向思考还是逆向思考,在解题思路上都不能保证一帆风顺,有时会遇到一些障碍.此时,同学们可以通过构造适当的辅助量(如图形、方程、等式、函数等)来帮助解决困难,使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新的构造过程中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题.运用构造法解题,首先,要认真分析题目,仔细观察,展开联想,从中发现可用构造法的因素;其次,借助于与之相关的知识构造所求问题的具体形式;最后,解出所构造的问题,但必须回到原来的问题上..构造图形对于代数问题,当用代数方法求解比较困难时,也可以从数形转化的角度出发,考虑其几何意义,通过构造几何图形使题设条件直观地反映出来,从而将代数问题转化为几何问题求解.例1..已知正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k.求证:aB+bC+cA<k2.(第21届全苏数学奥林匹克)讲解1..两个正数的乘积的最简单的几何意义可以看作是一个几何图形的面积,又a+A=b+B=c+C=k,可联想以k为边长的正三角形.图1如图1,构造以k为边长的正..PQR,分别在其各边上取点L、M、N,使得QL=A,LR=a,RM=B,MP=b,PN=C,NQ=c.由S..LRM+S..MPN+S..NQL<S..PQR..34aB+34bC+34cA<34k2..aB+bC+cA<k2.讲解2..仍从几何图形的面积出发,将k看作是边长为k的正方形的面积,将aB+bC+cA看作边长分别为a与B、b与C、c与A图2的三个小矩形面积之和.于是,欲证结论成立,只需将这三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k的正方形即可.据此构造图2即得证...评注..1.当题目的条件中出现两个正数的积的形式时,可考虑构造矩形.在1989年第15届全俄数学奥林匹克中,又出现了一道与本例如出一辙的赛题(见例8).中等数学例2..设正数x、y、z满足方程组x+xy+y23=25,y23+z=9,z+zx+x=16.求xy+2yz+3zx的值.讲解..本题若按常规解三元二次方程组,先求出x、y、z的值,再求代数式的值,势必陷入繁琐的计算之中.事实上,可将原方程组变形为x+y322x..y3cos150..=52,y32+z2=32,z2+x2-2zxcos120..=42.上述三式与余弦定理及勾股定理结构图3相似,故可构造出图3,分别算出..ABO、..BCO、..CAO和..ABC的面积,即可求得xy+2yz+3zx=243...评注..当题目的条件中出现平方和或平方差的形式时,可以考虑构造直角三角形;当题目的条件中出现a2+b2..ab,可考虑构造两边为a和b、夹角为60..或120..的三角形.2..构造方程根据题设的特征,利用方程根的概念、根的判别式、根与系数的关系等构造方程,从而利用方程的知识求解.例3..方程组x+y=2,xy-z2=1有几组实数解?讲解..由已知得x+y=2,xy=z2+1,从而联想到韦达定理的逆定理,试用构造方程解决.由韦达定理的逆定理知x、y是方程t2-2t+(z2+1)=0的两个实根,则..=(-2)2-4(z2+1)..0..z2..0.又z2..0,则z=0.故t2-2t+1=0.于是,x=y=1.因此,原方程组仅有一组实数解...评注..利用韦达定理的逆定理构造方程的关键是先根据题中提供的信息,从中变换出x1+x2=A,x1x2=B,从而构造以x1、x2为根的一元二次方程x2-Ax+B=0,再利用方程的有关知识求解.一般地,当题目的条件中出现和与积的式子时,常利用根与系数的关系来构造方程.例4..设abc是十进制中的质数.证明:b2-4ac不是完全平方数.证明..采用反证法.假设存在一个十进制的质数abc,使得b2-4ac为平方数.注意到求证结果的形式,可考虑(辅助的)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0...已知条件意味着p=f(10)=a..102+b..10+c=abc是一个质数