2009年4月石家庄职业技术学院学报Apr．2009第21卷第2期JournalofShijiazhuangVocationalTechnologyInstituteVO1．21No．2文章编号：1009—4873(2009)02—0063—03构造法在命题证明中的应用陈佩宁(石家庄职业技术学院信息工程系，河北石家庄050081)摘要：分析了如何构造函数，并运用函数单调性判定法、罗尔定理及积分中值定理证明了含有导数或积分的命题关键词：构造函数法；单调性；罗尔定理；变上限定积分；定积分中图分类号：O172文献标识码：A高等数学是以函数为研究对象的一门科学，函成立．数是进行科学研究和解决实际问题的必要工具之分析：若直接令F()=一，则一．构造函数是高等数学中一种常用的证明命题的方法，在证明过程中起着关键的作用．HJ我们结合求导较繁琐．可将分式不等式变形为整式不等式具体例子说明构造函数法在命题证明中的应用．(1+)In(1+)一xlnx>0，令F()=1相关定理(1+)ln(1+z)一xlnx，证明F(z)>0即可．定理1设函数厂(z)在[a，b]上连续，在(a，证明构造函数F(z)=(1+z)ln(1+)一b)内可导，(1)如果在(a，，J)内厂()≥0，则函数f()在(a，b)内单调增加；(2)如果在(a，b)内xlnx，贝UF(z)=in(1+z)一lnx=in(1+)>厂(X)≤0，则函数f(z)在(n，b)内单调减少．0(X>1)，所以当z>1时，F()单调递增，即定理2(罗尔定理)如果函数．厂(z)满足：(1)F()>F(1)=21n2>0．在[a，b]上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)在区间例2设b>a>e，证明Ⅱ>b。．端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(n，b)内至少有一点，使厂()=0．分析：直接证明结论比较困难，可以构造一个具定理3设f(z)在[a，b]上连续，则变上限定有单调性的辅助函数，由于lnx是单调增函数，所以广z积分F(z)=If(t)df在[a，b]上可导，且其导数可证lna>lnb，即证blna>alnb．Jar证明构造函数F()=37lna一祝lnx，则就是f(z)，即F(37)=(If(t)dt)=f(37)．口F(z)=ln口一旦>1一旦>0(>口>e)，所以定理4设f()在[a，b]上连续，且F(z)是广b当>a>e时，F(z)为单调增函数．因为b>a，它在该区间上的一个原函数，则有I厂(z)dx=J口所以F(b)>F(a)，即blna>口lnb成立，命题得F(b)一F(口)．证．定理5(积分中值定理)设厂()在[a，b]上rb2．2构造适当的函数证明方程根的存在问题连续，贝U有If(37)d37=f()(6一n)，e∈[口，b]．Ja证明方程根的存在问题时，若所给方程含有一2构造函数法的应用阶导数，通常需要构造函数并采用罗尔定理证明．构2．1构造适当的函数证明不等式造函数的方法有3种：例1证明：当>1时，有>(1)将方程两边积分构造函数收稿日期：2008—1O一28作者简介：陈佩宁(1971一)，女，河北望都人，石家庄职业技术学院讲师64石家庄职业技术学院学报第21卷例3设函数f()在[一a，a]上连续，在证明作辅助函数F(z)=e。(厂(z)+(●口，口)内可导，且厂(一n)=f(n)，cz>0．试证明f())，则F(z)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，在(一a，a)至少存在一点，使得f()=2U()．且有F(0)=F(1)，满足罗尔定理的条件，则F()分析：命题等价于证明厂()一2厂(z)=0有在(0，1)内至少有一点，使F()=e一厂()一一个根∈(～a，a)．可用罗尔定理构造函数f())=0，即厂()=f()．F(X)，使F()=厂(oZ")一2z厂(．27)=0．为求出(3)解常微分方程构造函数F(z)，可将厂(z)一2z厂()=0两边积分，得例6设函数f(z)在[0，1]上连续，在(0，1)内lnf(~)=z+lnC，于是f(z)=Ce，即f(z)e一=可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证对任意的∈R，必存在∈(0，1)，使得厂()一(f()一)=1．C，因此，可构造函数F()：f(z)e～．分析：由-厂()一(．厂()一)=1得至0证明令F(32)=厂(X)e～，则F(z)=-厂()一_厂(z)=1一z，(厂(z)一f()·2x)e一，因为F(一a)=F(n)，所由一阶非齐次微分方程的通解公式得：以由罗尔定理可知，在(一a，a)内存在一点，使得f(z)=ej[1(1一z)