构造法在高中数学中的应用王印松单位新沂市第二中学邮编221400摘要构造法解高中数学题，培养学生的思维能力。抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，可以构造几何图形、构造函数及构造方程等，以便解决问题。基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，用构造法解题，常使数学解题由难变易，它无一定之规，没有通用的构造法则。运用构造法解题对于培养思维的敏捷性和创造性，具有重要的意义。本文通过构造图形、构造方程、构造函数、构造模型等介绍了构造法在高中数学中的应用。构造法很重要。但由于它异于常规的思维，因此掌握起来有一定难度。只要不断在实践中摸索，去粗取精，相信会取得很好的效果。关键词：构造法；创新；思维能力。在解决某些数学问题时，我们常会采用这样的方法：通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是一个图形，一个函数，一个方程，一个等价命题等等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称之为构造法。构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法及其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。用构造法解题，常使数学解题由难变易，它无一定之规，没有通用的构造法则。运用构造法解题对于培养思维的敏捷性和创造性，具有重要的意义。下面通过几个实例说明构造法的应用。一、构造图形所谓有构造图形，是以已知为前提，构造一些理想的图形，其目的是通过这个图形直观地揭示已知与未来的关系，确定论证出发点，使证题的思路豁然开朗。华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。OAzBHxy例1：设a，b，c是周长不超过2的三角形的三条边长，求证：sina，sinb，sinc可以构成三角形的三条边长。构造三面角证明：由题意知道a+b+c＜2，且a，b，c是三角形三条边长，则a，b，c可以构成一个O-XYZ的三面角。如图设a=∠XOY，b=∠XOZ，c=∠YOZ，设OZ=1，过Z作ZH垂直于面OXY，H为垂足，∠HOZ=e，∠HOX=f，∠HOZ=g，过H作HA⊥OX，HB⊥OY，A，B为垂足Sin2b=AZ2=AH2+HZ2=cos2e+cos2f+sin2z=sin2f+sin2ecos2f≥sin2fsinb≥sinfsinc≥sing若两个式子都取“=”号，则f=g=900，X，O，H共线与题设不符，若不能同时取等号，则sinb+sinc＞sinf+sing≥sinfsing+cosfsing=sin（f+g）=sina即sinb+sinc＞sina，同理sina+sinb＞sinc，sina+sinc＞sinb所以sina，sinb，sinc可以构成三角形的三条边长例2：设x，y是正实数，求证：++≥构造一个三棱锥，让∠AVB=∠BVC=∠CVA=300VCBAVB`11，，，，CA设VA=x，VC=y，VB=则AB=，BC=，AC=沿VB把三棱锥展开得：AB+AC+，C≥B，==所以++≥例3若α、β、γ均为锐角，且满足ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２β＋ｃｏｓ２γ＝1，求证：ｔanα·ｔanβ·ｔanγ≥2．导析：拿到此题，联想到长方体对角线与三条棱所成角的性质，可构造长方体．设三度长分别为ａ、ｂ、ｃ，且交于顶点B的三棱与对角线ＢＤ１的夹角分别为α、β、γ．于是，原有三角不等式转化为代数不等式，即