2023-2024学年度(下)沈阳市五校协作体期末考试高一年级数学试卷答案考试时间：120分钟考试分数：150分一、单选题1-4．BACA5-8．BDCC二、多选题9．ABD10．BC.11．BD．三、填空题310()12．.13．52π14．1+2,2+310四、解答题15．（13分）【解】（1）因为acosB−bcosA=−a−c，根据正弦定理，得sinAcosB−cosAsinB=−sinA−sinC=−sinA−(sinAcosB+cosAsinB)，---------2分1化简得2sinAcosB=−sinA，因为sinA>0，所以cosB=−，---------4分22π因为B∈(0,π)，所以B=.---------5分32π（2）在ABC中，由余弦定理得(27)222+c2−2×2ccos，---------7分3所以c2+2c−24=0，解得c=4．---------9分2π因为BD为ABC的中线，所以2BD=BA+BC，所以4|BD|2=c2+a2+2ac⋅cos，3---------11分因为=a2,=c4，所以4|BD|2=12，解得BD=3.---------13分（利用其它方法证明求解的按步骤给分），16．（15分）【解】（1）连接BD交AC于点O，连接EO，由底面ABCD是正方形，故O为BD中点，又点E为线段PD的中点，故OE//PB，---------3分又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，故PB//平面AEC；---------4分（2）由点E为线段PD的中点，PA=AD，故AE⊥PD，由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，---------6分又底面ABCD是正方形，故AD⊥CD，又AD、PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，故CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，故CD⊥AE，---------8分又CD、PD⊂平面PCD，CDPD=D，故AE⊥平面PCD；---------10分（3）由点E为线段PD的中点，故点P与点D到平面AEC距离相等，---------12分11112故V=V=V=V=××2××2=×2.---------15分P−BCED−BCEE−BCD2P−BCD2323（利用其它方法证明求解的按步骤给分）17．（15分）ππ【解】（1）对任意x∈R都有f(−x)=f(x)，则函数f(x)的图象关于直线x=对称，36ππππππ于是+ϕ=+2kπ,k∈Z，而ϕ∈(−,)，则=k0,=ϕ，所以ϕ=.---------4分622233πππ4π(2)=f(x)2sin(x+)，当x∈(0,π)时，设t=x+∈,，y=2sin(t)在3333，πππ4πt∈,为增函数，在t∈,为减函数，所以方程f(x)+m=0有唯一实根，等价3223({}于f(t)+m∈−3+m,3+m∪2+m时有唯一实根，所以m的范围.是){}m∈−3,3∪−2---------8分ππ（3）由（1）知，=g(x)2sin(x+)，则g(−x)=−2sin(x−)，66ππππf(x=)2sin(x+=)2cos(x−)，[f(x)]2=4cos2(x−)=4−4sin2(x−)，3666ππ5πππ当x∈[,π]时，x−∈[0,]，sin(x−)∈[0,1]，令sin(x−)=t∈[0,1]，66666显然g(−x)=−2t,[f(x)]2=−44t2，---------12分2t2+4不等式ag(−x)−f2(x)>2a−12⇔−2at−(4−4t2)>2a−12⇔a<，t+12t2+4依题意，∀t∈[0,1]，不等式a<恒成立，t+12t2+42(t2−1)+666显然t+1∈[1,2]，2(t−1)+2(t+1)+−4t+1t+1t+1t+166≥22(t+1)⋅−4=43−4，当且仅当2(t+1)=，即=t3−1时取等号，则t+1t+1a<43−4，所以实数a的取值范围是a<43−4.---------15分（利用其它方法证明求解的按步骤给分）18．（17分）【解】(1)证明：在正三棱柱ABCABC中，因为点M为AB的中点，则CM⊥AB，又11111111AA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，则有AA⊥CM，1111111111而=AAABA,AA,AB⊂平面AABB，于是CM⊥平面AABB，CM⊂平面BCM，1