某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达服从泊松分布，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求1.修理店空闲的概率2.店内恰有3个顾客的概率3.店内至少有一个顾客的概率4.在店内的平均顾客数5.每位顾客在店内的平均逗留时间6.等待服务的平均顾客数7.每位顾客平均等待服务时间本问题可以看成一个M/M/1/∞排队问题，其中λ=4，μ=1/0.1=10；ρ=λ/μ=0.4<1(1)修理店空闲的概率p0=1-ρ=1-0.4=0.6(2)店内恰有三个顾客的概率p3=p0ρ3=0.6×0.43=0.038(3)店内至少有一个顾客的概率P{N≥1}=1-p0=0.4(4)在店内的平均顾客数L=ρ/(1-ρ)=0.4/(1-0.4)=0.667(人)(5)每位顾客在店内的平均逗留时间W=L/λ=0.67/4=10（分钟）W=1/(μ-λ)=1/(10-4)=10（分钟）(6)等待服务的平均顾客数Lq=ρL=0.4×0.67=0.267(人)Lq=L-ρ=2/3-0.4=0.267（人）(7)每位顾客平均等待服务时间Wq=Lq/λ=0.267/4=4（分钟）Wq=ρW=0.4×10=4（分钟）某修理站只有一个修理工，且站内最多停放3台待修的机器。设待修机器按Possion流到达，平均每分钟到达一台；修理时间服从负指数分布，平均没1.25分钟可修理一台。试求该系统的有关指标该系统可以看出为一个M/M/1/4排队系统，其中λ=1，μ=1/1.25=0.8，ρ=λ/μ=1.25，K=4由公式，p0=(1-ρ)/(1-ρk+1)=(1-1.25)/(1-1.255)=0.122顾客的损失率p4=ρ4p0=1.254×0.122=0.298顾客有效到达率λe=λ(1-p4)=1-0.298=0.702平均队长LL=2.44(台)等待队长LqLq=L-(1-p0)=2.44-(1-0.122)=1.56(台)平均逗留时间W=L/λe=2.44/0.702=3.48(分钟)平均等待时间Wq=W-1/μ=3.48-1/0.8=2.23（分钟）设货船按Possion流到达某一港口，平均到达率为λ=50条/天，平均卸货率为μ。又已知船在港口停泊一天的费用为1货币单位，平均卸货费为μcs，其中cs=2，现求出使总费用最少的平均服务率μ*解：λ=50，cw=1，cs=2，带入公式得即使总费用最省的平均服务率为55艘/天M/M/1/∞模型ρ为服务强度，表示服务台忙碌的概率服务台空闲的概率p0为1-ρpn=ρnp0平均队长L=ρ/(1-ρ)=λ/(μ-λ)平均等待队长Lq=L-ρ=Lρ平均逗留时间W=L/λ平均等待时间Wq=Lq/λ=W-1/μM/M/1/K模型p0会告诉数值pn=p0ρnL=p/(1-p)-(k+1)p*(k+1)/1-p*(k+1)p不等于1L=k/2p=1平均等待队长Lq=L-(1-p0)p0系统中没有顾客的概率有效到达率λe=λ(1-pK)pn顾客的损失率平均逗留时间W=L/λe平均等待时间Wq=Lq/λe=W-1/μ当k=1时，上述结论仍成立P0=1/(1+p)P1=p/(1+p)L=P1拉e=拉P0=拉/(1+p)W=L/拉e=p/拉=1/uLq=0Wq=0M/M/s/∞模型正在接收服务的平均顾客数，也就是正在忙碌的服务台个数为ρ，与服务台个数s无关。单服务台排队模型M/M/1/∞确定最优的服务率μ使总成本最小Z=csμ+cwL求解后得到cs为μ=1时单位时间内的服务成本cw为每个顾客在系统中逗留单位时间的费用平均队长L=Lq+p平均逗留时间W=L/拉平均等待时间Wq=Lq/拉=W-1/u