专题06立体几何（解答题）（理）知识点目录知识点1：线面角知识点2：二面角知识点3：距离问题知识点4：立体几何存在性问题近三年高考真题知识点1：线面角1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1．（1）求证：；（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．【解析】（1）证明：取的中点，连接，底面，底面，，，，底面，底面，，，，，平面，平面，平面平面，到平面的距离为1，到的距离为1，，；（2）过作交的延长线与，连接，取的中点，连接，四边形为平行四边形，平面，，平面，平面，，，为直线与距离，，，由（1）可知平面，为与平面所成角的角，易求得，，，，．与平面所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线相等的证明，考查线面角的求法，属中档题．2．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】证明：由于，，平面平面，平面，平面，所以为二面角的平面角，则，平面，则．又，则是等边三角形，则，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，故；（Ⅱ）由于平面，如图建系：于是，则，，设平面的法向量，，，则，，令，则，，平面的法向量，设与平面所成角为，则．【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．3．（2022•甲卷（理））在四棱锥中，底面，，，，．（1）证明：；（2）求与平面所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：底面，面，，取中点，连接，，，，又，，，为直角三角形，且为斜边，，又，面，面，面，又面，；（2）由（1）知，，，两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，设平面的一个法向量为，则，则可取，设与平面所成的角为，则，与平面所成的角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．4．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】证明：取中点，连接，，为的中点．，且，四边形是平行四边形，故，平面；平面，平面，是中点，是的点，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；侧面为正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若选①：；又，平面，又平面，，又，，，，两两垂直，若选②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，又，2，，设直线与平面所成角为，，．直线与平面所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．5．（2022•乙卷（理））如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：，为的中点．，又，，，，，又为的中点．，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）连接，由（1）知，，故最小时，的面积最小，时，的面积最小，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，过作于点，则平面，故，即为直线与平面所成的角，由，，知是2为边长的等边三角形，故，由已知可得，，又，，，所以，，，在中，由余弦定理得，．故与平面所成的角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．6．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；（2）求直线与平面的夹角大小．【解析】（1）如图，在长方体中，；（2）连接，，四边形为正方形，则，又，，平面，直线与平面所成的角为，．直线与平面所成的角为．【点评】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题．7．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，由已知可得，，，，由余弦定理可得