摘要本文讨论了插值函数的基本概念及线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次及基于最小二乘拟合的多项式插值和正交多项式插值.关键词拉格朗日插值牛顿插值曲线拟合最小二乘法1引言函数常被用来描述客观事物变化的内在规律（数量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数.解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点,选定一个便于计算的函数形式,如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求简单函数满足.由此确定函数作为的形式时,不要近似函数必须满足,而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.2插值问题与插值多项式定义1设为区间上函数，为上互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数，满足.则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点；称为插值型值点，简称型值点或插值点;称为被插函数.定义2已知函数在区间上的个点的值，即已知，寻求一个解析形式的函数，使之满足.则称为插值结点,为被插值函数，为插值函数，称条件为插值条件，若为次数不超过的多项式，即，则.其中为实数，则称为插值多项式.定理1在个相异结点满足插值条件而次数不高于的多项式是唯一的.2.1拉格朗日插值多项式给定，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式.称为关于的次拉格朗日插值多项式，它满足.其中称为为结点的次插值函数，它满足.设是上关于的次插值多项式，在上有阶连续导数，在上存在，则其余项为.例1已知函数表012-103试证明由此构造的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式.解构造，得将其余结点代入得可知满足所有插值条件.根据唯一性定理，就是所构造的拉格朗日插值多项式.牛顿插值定义3零阶均差一阶均差.二阶均差.2阶均差是1阶均差的均差，可递推阶均差，得.2.2.1均差（差商）的性质（Ⅰ）阶均差与函数值的关系为.（Ⅱ）均差关于所含结点是对称的，若为的任意排列，则即均差值与结点次序无关.牛顿插值多项式给定，次数不超过的牛顿插值多项式为.牛顿插值多项式的系数可由以下均差表求得.……插值余项.由插值多项式的唯一性知，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即由此有.例2已知函数表如下.0试求方程的根的近似值.解采用牛顿插值，作均差表如下：一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0按4次牛顿插值公式可得.等距结点的牛顿插值若插值结点为等距结点，即，称为步长，表示在上的值，则有等距结点的牛顿插值公式.定义4令分别称为在点的一阶向前差分和一阶向后差分。由此可递推阶向前差分和阶向后差分为.并规定零阶差分为均差与差分有以下关系，即..差分表……牛顿前插、后插插值公式及其余项牛顿前插公式为.其余项为.牛顿后插公式为.其余项为.例3设，给出在的值，试用3次等距结点插值公式求及的近似值.解前插公式.后插公式.2.3埃尔米特插值多项式插值多项式除了满足插值条件外，还要求与被插函数在结点处的导数值相等，即有.上面等式共有个条件可唯一确定次数不超过次的多项式，称之为埃米尔特插值多项式，它用插值基函数可表示为其中，和是插值基函数.插值基函数和是满足下列条件的次多项式.容易求得其中，是拉格朗日插值基函数.若在插值区间内存在阶导数，则次艾尔米特插值多项式的余项为其中特别地，当时，结点为满足条件的艾尔米特插值多项式为.例4求在上的分段3次埃尔米特插值函数，并估计误差.解令，分点当时，有误差估计.2.4三次样条插值定义5设在上取个互不相同的结点，即给定各结点上的函数值，如果函数在区间上满足下列条件，则称之为三次样条插值函数，简称三次样条：①，；②在每个小区间上，都是次数不超过三次的多项式；③.三次样条插值函数的计算.①由给定的数据,步长,求出,.②由追赶法解三对角方程组（三弯矩方程组），当自然边界条件时，有当边界条件为时，有其中③由①求出代入式，即④区间上的三次样条函数自然边界条件：已知，特殊情形导数边界条件：.三次样条插值收敛性设为三次样条插值函数，则有估计式，.其中：.可见，当时，三次样条插值函数及其一阶导数、二阶导数分别一致收敛于被插函数、及.例5已知函数的数据表：01234-8-701956求三次自然样条函数并求.解已知步长，得继