第一讲空间向量及其运算课程目标目标一掌握向量的几个基本概念目标二掌握空间向量基本定理及数量积的运算目标三应用坐标法解决向量问题目标四掌握法向量的求法及应用教学模块秋季拔高直通高考专题一空间向量的线性运算题型：选择题/填空题/解答题分值：5分近5年高考考察频次：全国I卷5年5次；全国II卷5年5次；全国III卷5年5次专题二空间向量的数量积专题三空间向量的坐标运算专题四平面的法向量专题一空间向量及其运算1．基本概念(1)空间向量：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．(2)相等向量：大小相等，方向相同的向量；(3)相反向量：大小相等，方向相反的向量．2．向量的加法和数乘(1)加法任给两个空间向，，可将它们移至同一平内，以任一为起点，做向量，定义向量的加法和减法运算如下加法运算满足交换律及结合律3．空间向量的数乘运算：①，；时与同向时与反向；②，则；③，；④，，；4．空间向量基本原理如果三个向，，不共面，那么对空间任一向，存在唯一的有序实数组，使得【题型1：空间向量的基本概念】【例1】（★☆☆☆☆）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列结论中正确的结论共有()①OA+OD与O⃗B+O⃗C是一对相反向量;11②-11OBOC与O⃗A-O⃗D是一对相反向量;③OA+OB+OC+OD与O⃗A+O⃗B+O⃗C+O⃗D是一对相反向量;11111④O⃗A-OA与OC-O⃗C是一对相反向量．1A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查相等向量和相反向量以及向量加减法的运算，属于基础题．由向量的加减运算化简，判断是否为相反向量，即可得解．【解答】解：利用图形及向量的运算规则可知②是相等向量，①③④是相反向量．【变式训练1】下列说法中正确的是()若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a，⃗b的长度相同，方向相同或相反若向量⃗a是向量⃗b的相反向量，则|⃗a|=|⃗b|空间向量的减法满足结合律在四边形ABCD中，一定有⃗AB+⃗AD=⃗AC【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的一些基本概念，属于基础题．根据题意，逐项判断即可．【解答】解：|⃗a|=|⃗b|，说明⃗a与⃗b模相等，但方向不确定;⃗a的相反向量⃗b=-⃗a，故|⃗a|=|⃗b|，从而B项正确;只定义加法具有结合律，减法不具有结合律;一般的四边形不具有⃗AB+⃗AD=⃗AC，只有在平行四边形中才能成立．【变式训练2】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是()①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若⃗a≠⃗b，则|⃗a|≠|⃗b|；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了向量的概念、相等向量、向量的模，属于基础题．根据平面向量相等概念，向量的模对选支逐一判断．【解答】解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当⃗a=-⃗b时，也有|⃗a|=|⃗b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B．【题型2：共面向量】【例2】（★★☆☆☆）已知点A，B，C不共线，对空间任意一点O，2若OP=1OA+1OB+1OC，则P，A，B，C四点()44不共面B.共面C.不一定共面D.无法判断【答案】B【解析】【分析】本题考查共面向量的证明，属于基础题．由已知中对于空间任意一点O，OP=1O2A+1O4B+1O4C，根据四点共面的向量表示方法，我们判断出即可得到答案．P分解后，A，B，C向量系数和是否为1，【解答】解：因为OP=1OA+1OB+1OC，且1+1+1=1，244所以P，A，B，C四点共面，故选B．244【变式训练1】已知向量{⃗a,⃗b,⃗c}是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是()baabbbA.{⃗a+⃗c,⃗+⃗c,2⃗a-2⃗}B.{⃗,⃗+⃗+⃗c,⃗+⃗c}C.{⃗a+⃗b+⃗c,2⃗a+⃗b,⃗c}D.{⃗a,⃗b,2⃗a+2⃗b}【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量的基本定理，属于基础题型，能构