高考数学对称问题分类探析的知识点高考数学关于对称问题分类探析的知识点一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P（x，y）关于点（a，b）对称点为P（x，y），x=2a—x。由中点坐标公式可得：y=2b—y。2、点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为：x=x—（Ax+By+C）P（x，y）则y=y—（AX+BY+C）事实上：∵PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=—Ax—By—2C。解此方程组可得结论。（—）=—1（B0）。特别地，点P（x，y）关于：1、x轴和y轴的对称点分别为（x，—y）和（—x，y）。2、直线x=a和y=a的对标点分别为（2a—x，y）和（x，2a—y）。3、直线y=x和y=—x的对称点分别为（y，x）和（—y，—x）。例1光线从A（3，4）发出后经过直线x—2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B（1，5），求射入y轴后的反射线所在的直线方程。解：如图，由公式可求得A关于直线x—2y=0的对称点。A（5，0），B关于y轴对称点B为（—1，5），直线AB的方程为5x+6y—25=0。`C（0，）。`直线BC的方程为：5x—6y+25=0。二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F（x，y）=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F（x，y）=O上任意一点（x，y）关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F（x，y）=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。1、曲线F（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线的方程是F（2a—x，2b—y）=0。2、曲线F（x，y）=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F（x—（Ax+By+C），y—（Ax+By+C））=0。特别地，曲线F（x，y）=0关于。（1）x轴和y轴对称的曲线方程分别是F（x，—y）和F（—x，y）=0。（2）关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F（2a—x，y）=0和F（x，2a—y）=0。（3）关于直线y=x和y=—x对称的曲线方程分别是F（y，x）=0和F（—y，—x）=0。除此以外还有以下两个结论：对函数y=f（x）的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f（|x|）的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f（x）|的图象。例2（全国高考试题）设曲线C的方程是y=x3—x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：1）写出曲线C1的方程。2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称。（1）解知C1的方程为y=（x—t）3—（x—t）+s。（2）证明在曲线C上任取一点B（a，b），设B1（a1，b1）是B关于A的对称点，由a=t—a1，b=s—b1，代入C的方程得：s—b1=（t—a1）3—（t—a1）。b1=（a1—t）3—（a1—t）+s。B1（a1，b1）满足C1的方程。B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的.点关于点A的对称点在曲线C上。曲线C和C1关于a对称。我们用前面的结论来证：点P（x，y）关于A的对称点为P1（t—x，s—y），为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）。y=（x—t）3—（x—t）+s。此即为C1的方程，`C关于A的对称曲线即为C1。三、曲线本身的对称问题曲线F（x，y）=0为（中心或轴）对称曲线的充要条件是曲线F（x，y）=0上任意一点P（x，y）（关于对称中心或对称轴）的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。例如抛物线y2=—8x上任一点p（x，y）与x轴即y=0的对称点p（x，—y），其坐标也满足方程y2=—8x，`y2=—8x关于x轴对称。例3方程xy2—x2y=2x所表示的曲线：A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称。C、关于原点对称D、关于直线x—y=0对称。解：在方程中以—x换x，同时以—y换y得。（—x）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不变。曲线关于原点对称。函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：1、函数f（x）定义线为R，a为常数，若对任意xR，均有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于x=a对称。这是因为a+x和a—x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。例如对于f（x）若tR均有f（2+t）=f（2—t）则f（x）图象关于x=2对称。若将条件改为f（1+t）=f（3—t）或f（t）=f（4—t）结论又如何呢？第一式中令t=1+m则得f（2+m）=f（2—m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同样结论即关于x=2对称，由