3.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2019北京,文5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12解析∵双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,∴a2+1a=5,解得a=12,故选D.答案D2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是()A.x29-y24=1B.y24-x29=1C.x24-y29=1D.y212-x227=1解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.答案ABD3.已知双曲线方程为x2-y24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有()A.4条B.3条C.2条D.1条解析因为双曲线x2-y24=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.答案B4.(多选题)已知双曲线的方程为y24-x25=1,则下列说法正确的是()A.焦点在y轴上B.渐近线方程为2x±5y=0C.虚轴长为4D.离心率为35解析双曲线的方程为y24-x25=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x±5y=0;虚轴长为25;离心率为32,判断知AB正确.答案AB5.若实数k满足0<k<9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0<k<9,则9-k>0,即曲线x225-y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±34-k,0);25-k>0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±34-k,0),故两曲线的焦距相同,故选A.答案A6.已知双曲线y2a2-x2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=±abx=±34x.答案y=±34x7.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1,作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.解析依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=33(x+2).由y=33(x+2),x2-y23=1,得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=-138,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=[1+(33)2][(x1+x2)2-4x1x2]=(1+13)×[(12)2-4×(-138)]=3.答案38.双曲线x29-y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.解由题意得,双曲线x29-y216=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±43x.不妨设直线FB的方程为y=43(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,解得x=175,y=-3215,所以B175,-3215.所以S△AFB=12|AF||yB|=12(c-a)·|yB|=12×(5-3)×3215=3215.9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53;(2)经过点C(-3,2),且与双曲线x28-y216=1有共同的渐近线.解(1)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为y29-x216=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=λ(λ≠0),将点C(-3,2)的坐标代入,得38-216=λ,解得λ=14,所以所求双曲线的标准方程为x22-y24=1.关键能力提升练10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于()A.2-1B.2C.2+1D.2+2解析不妨设双曲线标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=2b2a.因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=2+1或e=1-2(舍去),故选C.答案C11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过原点