2.4.1抛物线及其标准方程根底练习1．过点A(1,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】设P为满足条件的点，那么点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．应选D．2．点(7，－4)到抛物线y2＝16x焦点的距离是()A．5B．8C．11D．15【答案】A【解析】抛物线的焦点为(4,0)，点(7，－4)到点(4,0)的距离为eq\r(7－42＋－42)＝5.应选A．3．抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标为3，它到焦点的距离是5，那么抛物线的方程是()A．y2＝8xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝20x【答案】A【解析】抛物线的准线方程为x＝－6a，由题意得3＋6a＝5，∴a＝eq\f(1,3).∴抛物线的方程是y2＝8x.应选A．4．直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C．eq\f(11,5)D．eq\f(37,16)【答案】A【解析】设抛物线焦点为F，那么点F为(1,0)，x＝－1为抛物线的准线方程，∴点P到l2的距离与|PF|相等．∴当PF⊥l1时，所求和最小，最小值为点F到l1的距离，其值为eq\f(|4＋6|,5)＝2.应选A．5．(2022年江苏南京模拟)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1的大小为________．【答案】eq\f(π,2)【解析】由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，∴∠OFA1＋∠OFB1＝eq\f(1,2)×π＝eq\f(π,2)，即∠A1FB1＝eq\f(π,2).6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，假设|AB|＝4eq\r(3)，那么焦点F到直线AB的距离为________．【答案】2【解析】由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4eq\r(3)且AB⊥x轴得yeq\o\al(2,A)＝(2eq\r(3))2＝12，∴xA＝eq\f(y\o\al(2,A),4)＝3.∴所求距离为3－1＝2.7．分别求适合以下条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．解：(1)假设抛物线焦点落在x轴上，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)．将点(－3,2)代入方程得22＝－2p·(－3)，p＝eq\f(2,3).故抛物线方程为y2＝－eq\f(4,3)x.假设抛物线焦点落在y轴上，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)．将点(－3,2)代入方程得(－3)2＝2p·2，p＝eq\f(9,4).故抛物线方程为x2＝eq\f(9,2)y.综上，抛物线方程为y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，那么抛物线的焦点坐标为(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，eq\f(p,2)＝4，p＝8，那么抛物线方程为y2＝16x.直线x－2y－4＝0与y轴的交点为(0，－2)，那么抛物线的焦点坐标为(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，－eq\f(p,2)＝－2，p＝4，那么抛物线方程为x2＝－8y.综上，抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.8．(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．假设△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求该抛物线方程；(2)假设点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，求点P的轨迹方程．解：(1)抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，故直线l的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4))).令x＝0得y＝－eq\f(a,2)，故△OAF的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f