24数学通报2010年第49卷第2期从算法教学管窥中国古代数学史俞昕313000)(浙江湖州市第二中学关于算法的涵义,人们有着不同的界定.普通高中数学课程标准(实验)在学生算法目标达成度上,重在算法思想的理解与应用,界定现代算法的意义就是解决某一类问题的办法.确切地说,就是对于某一类特定的问题,算法给出了解决问题的一系列(有穷)操作,即每一操作都有它的确定性的意义(使计算机能够按照它的指令工作),并在有限时间(有穷步骤)内计算出结果.普通高中数学课程标准(实验)对!算法部分?进行说明时,突出强调!需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想?.吴文俊先生曾经说过!我们崇拜中国传统数学,决非泥古迷古、为古而古.复古是没有出路的.我们的目的不仅是要显示中国古算的真实面貌,也不仅是为了破除对西算的盲从,端正对中算的认识,我们主要的也是真正的目的,是在于古为今用.?算法教学中蕴涵着丰富的数学史教育价值,作为新时代的高中数学教师是有必要了解这一点的.1中国古代数学的特点古代数学思想分为两大体系,一个是以欧几里得的几何原本为代表的西方数学思想体系,这个体系以公理化的思想、抽象化的方法、封闭的演绎体系为特色.另一个则是以我国的九章算术为代表的东方数学思想体系,这个体系以算法化的思想、构造性的方法、开放的归纳体系为特色.我国传统数学在从问题出发,以解决问题为主旨的发展过程中,建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系,这与西方数学以欧几里得几何原本为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对.中国古代数学中的!术?相当于现代数学术语中的!公式?,两者虽有相同点(都可以用来解决一类有关问题),其差异也非常之大.主要表现在,!公式?只提供了几个有关的量之间的关系,指明通过哪些运算可由已知量求出未知量,但并没有列出具体的运算程序,一般地,认为这种程序是已知的了.但!术?则由怎样运算的详细程序构成的,可以说它是为完成公式所指出的各种运算的具体程序,即把!公式?展开为使用某种计算工叩木?体操作步骤.从这点看,!术?正是现代意义上的算法,是用一套!程序语言?所描写的程序化算法,可以照搬到现代计算机上去.我国古代数学包括了今天初等数学中的算术、代数、集合和三角等多方面的内容.由于受实用价值观的影响,中国传统数学的研究遵循着一种算法化思想,这种思想从九章算术开始一直是中国古代数学著作大都沿袭的模式:实际问题###归类###筹式模型化###程序化算法即将社会生产生活中的问题,先编成应用问题,按问题性质分类,然后概括地近似地表述出一种数学模型,借助于算筹,得到这一类问题的一般解法.把算法综合起来,得到一般原理,分别隶属于各章,人们按照书中的方法、原理和实例来解决各种实际问题.可以说,中国传统数学以确定算法为基本内容,又以创造和改进算法为其发展的方向.受九章算术的影响,在之后的几个世纪,一些数学家的著作都以算法为主要特点,包括王孝通的辑古算经、贾宪的黄帝九章算法细草、刘益的议古根源、九韶的数书九章、秦李冶的测圆海镜和益古演段、杨辉的详解九章算法、日用算法和杨辉算法,这些著作中包括了增乘开方术、贾宪三角、高次方程数值解法、内插法、一次同余式组解法等一些著名的算法,进一步发展了中国古代数学算法化的特点,使得算法的特点得到了进一步的强化和发展.11中国古代数学的算法化思想算法化的思想是中国古代数学的重要特点,并贯穿于中国古算整个发展过程之中.即使是与2010年第49卷第2期数学通报25图形有关的几何问题也不例外,中算家们将几何方法与算法有机地结合起来,实现了几何问题的算法化.这样,从问题出发建立程序化的算法一直是古代中国数学研究的传统,也是中算家们努力的方向.这种算法化的思想着重构造实践,更强调!经验?、发现?和构造性思维方式下从无到有的!发明,对今天的算法教学与研究具有重要的启迪作用.中国古代数学算法化的思想具体表现如下:第一步,把实际中提出的各种问题转化为数学模型;第二步,把各种数学模型转化为代数方程;第三步,把代数方程转化为一种程序化的算法;第四步,设计(并逐步改进)、归纳、推导(寓推理于算法之中)出各种算法;第五步,通过计算回溯逐步达到解决原来的问题.12中国古代数学的构造性方法所谓构造性方法是解决数学问题的一种方法,是创造性思维方式直接作用的结果.按照现代直觉主义者,特别是构造主义者的观点,对于一个数学对象,只有当它可以通过有限次的操作而获得,并且在每步操作之后都能有效地确定下一步所需要采取的操作,才能说它是存在的.按照这种思维方式,可以使概念和方法按固定的方式在有限步骤内进行定义或得以实施,或给出一个行之有效的过程使之在有限步骤内将结果确定地构造出来.换言之,就是能用有限的手段刻画数学对象并针对问题提出