平面的法向量与平面的向量表示3、2、2平面得法向量与平面得向量表示平行与垂直关系得向量表示(2)垂直关系1、平面得法向量已知平面α,如果向量n得基线与平面α,则向量n叫做平面α得法向量或说向量n与平面α正交、2、平面得向量表示式设A就是空间任一点,n为空间内任一非零向量,适合条件·n＝0得点M构成得图形就是过点A并且与向量n垂直得,通常称为一个平面得向量表示式、3、两平面平行、垂直得判定设n1,n2分别就是平面α,β得法向量,则①α∥β或α与β重合⇔;②α⊥β⇔⇔、4、正射影与三垂线定理(1)正射影:已知平面α与一点A,过点A作α得垂线l与α相交于点A′,则A′就就是点A在平面α内得,简称、(2)三垂线定理:如果在平面内得一条直线与平面得一条斜线在这个平面内得垂直,则它也与这条斜线垂直、(3)三垂线定理得逆定理:如果平面内得一条直线与这个平面得一条斜线垂直,则它也与这条斜线在平面内得垂直、1、用向量法证明线线、线面、面面之间得垂直关系,主要就是找出直线得方向向量、平面得法向量之间得关系,因此求直线得方向向量及平面得法向量就是解题关键、2、一个平面得法向量不就是唯一得,在应用时,可以根据需要进行选取,一个平面得所有法向量共线、10[例1]已知点A(1,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,3),求平面ABC得一个法向量、[一点通]利用待定系数法求法向量得解题步骤:1、已知平面内得两个向量a＝(2,3,1),b＝(5,6,4),则该平面得一个法向量为()A、(1,－1,1)B、(2,－1,1)C、(－2,1,1)D、(－1,1,－1)[思路点拨]建立空间坐标系、求出平面ADE与平面A1D1F得法向量求解、[一点通]设直线l得方向向量a＝(a1,b1,c1),平面α得法向量u＝(a2,b2,c2),平面β得法向量v＝(a3,b3,c3),且l⊄α,α与β不重合,则(1)l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0;(2)l⊥α⇔a∥u⇔(a1,b1,c1)＝λ(a2,b2,c2);(3)α∥β⇔u∥v⇔(a2,b2,c2)＝m(a3,b3,c3);(4)α⊥β⇔u⊥v⇔u·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0、3、在正方体ABCD­A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CD1B1、4、正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别就是BB1、CD得中点,求证:平面AED⊥平面A1FD1、[例3]在正方体ABCD­A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BDC1、[精解详析]在正方体中,AA1⊥平面ABCD,所以AC就是A1C在平面ABCD内得射影,又AC⊥BD,所以BD⊥A1C、同理D1C就是A1C在平面CDD1C1内得射影、所以C1D⊥A1C、又C1D∩BD＝D,所以A1C⊥平面BDC1、[一点通](1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线得垂直问题、对于同一平面内得两直线垂直问题也可用“平移法”,将其转化为空间两直线得垂直问题,用三垂线定理证明、(2)当图形比较复杂时,要认真观察图形,证题得思维过程就是“一定二找三证”,即“一定”就是定平面与平面内得直线,“二找”就是找平面得垂线、斜线与斜线在平面内得射影,“三证”就是证直线垂直于射影或斜线、5、正三棱锥P­ABC中,求证:BC⊥PA、6、在空间四边形ABCD中,A在平面BCD内得射影O1就是△BCD得垂心,试证明B在平面ACD内得射影O2必就是△ACD得垂心、1、确定平面得法向量通常有两种方法:(1)利用几何体中已知得线面垂直关系;(2)用待定系数法,设出法向量,根据它与α内不共线两向量得垂直关系建立方程组进行求解、由于一个平面得法向量有无数个,故可从方程组得解中取一个最简单得作为平面得法向量、2、用空间向量处理平行问题得常用方法:(1)线线平行转化为直线得方向向量平行、(2)线面平行转化为直线得方向向量与平面法向量垂直、(3)面面平行转化为平面法向量得平行、(4)线线垂直转化为直线得方向向量垂直、(5)线面垂直转化为直线得方向向量与平面得法向量平行、(6)面面垂直转化为平面得法向量垂直、3、三垂线定理及逆定理就是证明线线垂直得重要方法、