不等式的证明【经典例题】：例1证明不等式(n∈N*)证法一（数学归纳法）：（1）当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立，（2）假设时，不等式成立，即1+<2，∴当时，不等式成立综合（1）、（2）得当时，都有1+<2从k到k+1时的证明还有下列证法：所以证法二（放缩法，裂项相消）：对任意，都有，从而有：证法三（构造函数）：设f(n)=那么对任意k∈N*都有∴因此，对任意都有，∴证法四（构造数列）：设数列，则，设数列的前n项和，则，对于任意的，∵∴，即于是，，，从而，即证．例2求使(x>0，y>0)恒成立的a的最小值．解法一由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：，即，①而，则（当且仅当x=y时，等号成立）②比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=(∵)，从而a的最小值是解法二设∵，∴（当且仅当x=y时，等号成立）∴，的最大值是1，从而u的最大值为，又由已知，得，于是a的最小值为解法三∵，∴原不等式等价于：+1≤a，设，，则有：，∴，③易知的最大值为1，由③式可知a的最小值为例3已知，且求证：证法一(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8∵a>0，b>0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证证法二(均值代换法)设a=+t1，b=+t2∵a+b=1，a>0，b>0，∴t1+t2=0，|t1|<，|t2|<显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立证法三(比较法）∵a+b=1，a>0，b>0，∴a+b≥2，∴ab≤证法四(综合法)∵a+b=1，a>0，b>0，∴a+b≥2，∴ab≤∴即证法五(三角代换法）∵a>0，b>0，a+b=1，故令，，2即【练习】：1已知x、y，a、b是正常数,且=1，x+y的最小值为________2设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|<|b－c|，则ad与bc的大小关系是_________3若m<n，p<q，且(p－m)(p－n)<0，(q－m)(q－n)<0，则m、n、p、q的大小顺序是__________4已知a，b，c为正实数，a+b+c=1求证（1）a2+b2+c2≥；（2）≤6HYPERLINK"http://www.xjktyg.com/wxc/"．5HYPERLINK"http://www.xjktyg.com/wxc/"．若a>0，b>0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1HYPERLINK"http://www.xjktyg.com/wxc/"．【参考答案】：1答案a+b+2解析：令，，则，，∴2答案解析：由∵a+d=b+c，∴，故3答案解析把p、q看成变量，则4（1）证法一a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)=[3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］=[3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］=[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0∴a2+b2+c2≥证法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥证法三∵∴a2+b2+c2≥∴a2+b2+c2≥证法四设，，，∵a+b+c=1，∴∴∴（2）证法一：同理：∴证法二∴≤<65．证法一：易知，于是有即，又，所以，因为，从而，即证法二设a、b为方程的两根，则，因为a>0，b>0，所以m>0，n>0，且①由可得：n=②将②代入①得m2－4()≥0，即，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1，所以ab≤1证法三因a>0，b>0，a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)于是有6≥3ab(a+b)，从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下同证法二）证法四：由于≥0，所以对任意非负实数a、b，有≥因为a>0，b>0，a3+b3=2，所以1=≥，∴≤1，即a+b≤2，(以下略）证法五假设a+b>2，则a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)[(a+b)2－